공통수학2함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

소수 개수 함수

문제

임의의 양의 실수 xx에 대하여, xx를 넘지 않는 소수의 개수를 f(x)f ( x )라 하자. 예를 들면 f(52)=1,f(5)=3\displaystyle f \left( \frac{5}{2} \right) = 1 , f ( 5 ) = 3이다. <보기> 중 옳은 것을 모두 고르면? [3점]

[ 보 기 ]
Ⅰ. f(10)=4f ( 10 ) = 4 Ⅱ. 임의의 실수 xx에 대하여 f(x)<xf ( x ) < x이다. Ⅲ. 임의의 양의 실수 xx에 대하여 f(x+1)=f(x)f ( x + 1 ) = f ( x )이다.

①Ⅰ②Ⅰ, Ⅱ③Ⅰ, Ⅲ④Ⅱ, Ⅲ⑤Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ

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②

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해설

Ⅰ. 1010이하의 소수는 2,3,5,72 , 3 , 5 , 7이므로 f(10)=4f ( 10 ) = 4 Ⅱ. f(x)<[x]≤xf ( x ) < [ x ] \leq x이므로 f(x)<xf ( x ) < x Ⅲ. x=2x = 2인 경우 f(3)=2,f(2)=1f ( 3 ) = 2 , f ( 2 ) = 1 f(3)≠f(2)f ( 3 ) \ne f ( 2 ) 따라서 옳은 것은 Ⅰ, Ⅱ이다.

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