속도와 움직인 거리 최솟값

시각 $t = 0$에서 $t = x$까지 움직인 거리를 $l _{1}$ 시각 $t = x$에서 $t = x + 2$까지 움직인 거리를 $l _{2}$ 시각 $t = x + 2$에서 $t = 5$까지 움직인 거리를 $l _{3}$이라 하자. ㄱ. $x = 1$인 경우 $l _{1} = 2$, $l _{2} = 4$, $l _{3} = 2$이므로 $f ( 1 ) = 2$ $\therefore$ 참 ㄴ. $x = 2$인 경우 $l _{1} = 5$, $\displaystyle l _{2} = \frac{3}{2}$, $\displaystyle l _{3} = \frac{3}{2}$이므로 $\displaystyle f ( 2 ) = \frac{3}{2}$ 따라서 $\displaystyle f ( 2 ) - f ( 1 ) = \frac{3}{2} - 2 = - \frac{1}{2}$ $\displaystyle \int _{1} ^{2} {v ( t ) dt} = \int _{1} ^{2} {( - 2 t + 6 ) dt} = 3$ $\displaystyle \therefore f ( 2 ) - f ( 1 ) \ne \int _{1} ^{2} {v ( t ) dt}$ $\therefore$ 거짖 ㄷ. $h$가 충분히 작은 양수일 때 그림에서 보는 것처럼

$1 - h < x < 1$에서 $\displaystyle f ( x ) = \frac{1}{2} \cdot x \cdot 4 x = 2 x ^{2} \rightarrow f' ( x ) = 4 x$ $4$ $1 < x < 1 + h$에서 $\displaystyle f ( x ) = 2 - \frac{1}{2} ( ( x + 2 ) - 3 ) ^{2} \rightarrow f' ( x ) = - x + 1$ $0$ 따라서 $f' ( x )$의 $x = 1$에서의 좌우 미분계수가 다르므로 미분불가능 $\therefore$ 거짓