속도와 움직인 거리

[출제의도] 정적분을 활용하여 문제해결하기 시각 $t = 0$에서 $t = 2$까지 점 ${\mathrm{P}}$가 움직인 거리는 $\displaystyle \int _{0} ^{2} {} \left| v _{1} \left( t \right) \right| dt = \int _{0} ^{2} {} \left| 3 t ^{2} + 1 \right| dt = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \begin{matrix} \\ \end{matrix} t ^{3} + t \end{array} \right] _{0} ^{2} = 10$ 시각 $t = 0$에서 $t = 2$까지 점 ${\mathrm{Q}}$가 움직인 거리는 $\displaystyle \int _{0} ^{2} {} \left| v _{2} \left( t \right) \right| dt = \int _{0} ^{2} {} \left| mt - 4 \right| dt$ (ⅰ) $m \leq 2$일 때 $\displaystyle \int _{0} ^{2} {} \left| mt - 4 \right| dt$$\displaystyle = \int _{0} ^{2} ( - m t + 4 ) d t$ $\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \begin{matrix} \\ \end{matrix} - \frac{1}{2} mt ^{2} + 4 t \end{array} \right] _{0} ^{2} = - 2 m + 8$ 이므로 $- 2 m + 8 = 10$, $m = - 1$ (ⅱ) $m > 2$일 때 $\displaystyle \int _{0} ^{2} {} \left| mt - 4 \right| dt$ $\displaystyle = \int _{0} ^{\frac{4}{m}} {} \left| mt - 4 \right| dt + \int _{\frac{4}{m}} ^{2} {} \left| mt - 4 \right| dt$ $\displaystyle = \int _{0} ^{\frac{4}{m}} {} \left( - mt + 4 \right) dt + \int _{\frac{4}{m}} ^{2} {} \left( mt - 4 \right) dt$ $\displaystyle = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} - \frac{1}{2} m t ^{2} + 4 t \end{array} \right] _{0} ^{\frac{4}{m}} + \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \frac{1}{2} m t ^{2} - 4 t \end{array} \right] _{\frac{4}{m}} ^{2}$ $\displaystyle = 2 m - 8 + \frac{16}{m}$ 이므로 $\displaystyle 2 m - 8 + \frac{16}{m} = 10$ $m ^{2} - 9 m + 8 = ( m - 1 ) ( m - 8 ) = 0$ $m > 2$이므로 $m = 8$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 구하는 모든 $m$의 값의 합은 $- 1 + 8 = 7$