속도와 거리 최댓값 빈칸

두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$의 시각 $t$에서의 위치를 각각 $x _{\mathrm{1}} \left( \mathit{t} \right)$, $x _{\mathrm{2}} \left( \mathit{t} \right)$라 하면 $\displaystyle x _{\mathrm{1}} \left( \mathit{t} \right) = \int _{0} ^{t} {v _{\mathrm{1}} \left( \mathit{t} \right) dt} = \frac{1}{6} t ^{3} - \frac{3}{2} t ^{2}$ $\displaystyle x _{\mathrm{2}} \left( \mathit{t} \right) = \int _{0} ^{t} {v _{\mathrm{2}} \left( \mathit{t} \right) dt} = \left. {\square {- \frac{1}{6} t ^{3} + \frac{1}{2} t ^{2} _{{} _{}} {}^{{} ^{}}}} \right.$ 출발 후 처음으로 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$가 만나는 시각은 $t = 6$이다. $0 < t \leq 6$에서 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$ 사이의 거리를 $l \left( t \right)$라 하면 $\displaystyle l \left( t \right) = \left| \frac{1}{6} t ^{3} - \frac{3}{2} t ^{2} - \left( - \frac{1}{6} t ^{3} + \frac{1}{2} t ^{2} \right) \right| = \left| \frac{1}{3} t ^{3} - 2 t ^{2} \right|$ $\displaystyle g \left( t \right) = \frac{1}{3} t ^{3} - 2 t ^{2}$이라 하면 $g' \left( t \right) = 0$에서 $t = 0$, $4$ 따라서 $l \left( t \right)$는 $t = \left. {\square {4 _{{} _{{} _{}}} ^{{} ^{{} ^{}}}}} \right.$일 때 극대이면서 최대이므로 $l \left( t \right)$의 최댓값은 $\displaystyle \left. {\square {\frac{32 ^{{} ^{}}}{3 _{}}}} \right.$이다. (가)에 알맞은 식은 $\displaystyle f \left( t \right) = \mathit{-} \frac{1}{6} t ^{3} + \frac{1}{2} t ^{2}$ (나), (다)에 알맞은 수는 각각 $a = 4$, $\displaystyle b = \frac{32}{3}$ $\therefore$ $\displaystyle \frac{a \times b}{f \left( 2 \right)} = 64$