미적분Ⅰ정적분의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

속도로 원점 재통과

문제

원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 P\mathrm{P}의 시각 tt에서의 속도 v(t)v \left( t \right)가 다음과 같다. v(t)={−3t2(0≤t<2)a(t−2)−12(t≥2)\displaystyle v \left( t \right) = {\begin{cases} - 3 t _{{} _{{} _{}}} ^{2} & \left( 0 \leq t < 2 \right) _{{} _{{} _{}}} \\ a \left( t - 2 \right) - 12 ^{{} ^{{} ^{}}} & \left( t \geq 2 \right) ^{{} ^{{} ^{}}} \end{cases}} 점 P\mathrm{P}가 출발한 후, 시각 t=6t = 6일 때 원점을 다시 지난다. 상수 aa의 값을 구하시오. [4점]

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해설

[출제의도] 다항함수의 적분법을 활용하여 문제해결하기 시각 t=6t = 6일 때 점 P\mathrm{P}의 위치가 원점이 되려면 ∫06v(t)dt=0\displaystyle \int _{0} ^{6} {v \left( t \right)} dt = 0이다. ∫06v(t)dt\displaystyle \int _{0} ^{6} {v \left( t \right)} dt=∫02(−3t2)dt+∫26{a(t−2)−12}dt\displaystyle = \int _{0} ^{2} {\left( - 3 t ^{2} \right)} dt + \int _{2} ^{6} {\left\{ a \left( t - 2 \right) - 12 \right\}} dt =[−t3]02+[12at2−2at−12t]26\displaystyle = \left[ - t ^{3} \right] _{0} ^{2} + \left[ \frac{1}{2} at ^{2} - 2 at - 12 t \right] _{2} ^{6} =8a−56=0= 8 a - 56 = 0 따라서 a=7a = 7

태그

#속도와 위치#정적분

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