미적분Ⅰ정적분의 활용수능 기출기본 문제 (3점 중반)

속도함수로 이동거리 구하기

문제

수직선 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$ 의 시각 $t$ ( $t \geq 0$ )에서의 속도 $v \left( t \right)$ 가 $v \left( t \right)$ $= at ^{2} + bt$ ( $a , b$ 는 상수) 이다. 시각 $t$ $= 1$ , $t$ $= 2$ 일 때, 점 $\mathrm{P}$ 의 속도가 각각 $15$ , $20$ 이다. 시각 $t$ $= 1$ 에서 $t$ $= 5$ 까지 점 $\mathrm{P}$ 가 움직인 거리는? [3점] ① $\displaystyle \frac{166}{3}$ ② $56$ ③ $\displaystyle \frac{170}{3}$ ④ $\displaystyle \frac{172}{3}$ ⑤ $58$

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③

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해설

$v ( 1 ) = a + b = 15$ , $v ( 2 ) = 4 a + 2 b = 20$ 에서 $a = - 5$ , $b = 20$ $v ( 4 ) = 0$ 이므로 $t = 1$ 에서 $t = 5$ 까지 점 $\mathrm{P}$ 가 움직인 거리는 $\displaystyle \int _{1} ^{4} {( - 5 t ^{2} + 20 t ) dt + \int _{4} ^{5} {( 5 t ^{2} - 20 t ) dt}}$ $\displaystyle = \left[ - \frac{5}{3} t ^{3} + 10 t ^{2} \right] _{1} ^{4} + \left[ \frac{5}{3} t ^{3} - 10 t ^{2} \right] _{4} ^{5}$ $\displaystyle = - \frac{5}{3} \times 63 + 10 \times 15 + \frac{5}{3} \times 61 - 10 \times 9$ $\displaystyle = \frac{170}{3}$

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