미적분Ⅰ정적분의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

속도 그래프와 위치

문제

다음은 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 P\mathrm{P}의 시각 t(0≤t≤d)t ( 0 \leq t \leq d )에서의 속도 v(t)v ( t )를 나타내는 그래프이다.

∫0a∣v(t)∣dt=∫ad∣v(t)∣dt\displaystyle \int _{0} ^{a} {\left| v ( t ) \right| dt} = \int _{a} ^{d} {\left| v ( t ) \right| dt}일 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, 0<a<b<c<d0 < a < b < c < d이다.) [3점]

[ 보 기 ]
ㄱ. 점 P\mathrm{P}는 출발하고 나서 원점을 다시 지난다. ㄴ. ∫0cv(t)dt=∫cdv(t)dt\displaystyle \int _{0} ^{c} {v ( t ) dt} = \int _{c} ^{d} {v ( t ) dt} ㄷ. ∫0bv(t)dt=∫bd∣v(t)∣dt\displaystyle \int _{0} ^{b} {v ( t ) dt} = \int _{b} ^{d} {| v ( t ) | dt}

①ㄴ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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④

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해설

그림과 같이 각각의 넓이를 S1,S2,S3,S4S _{1} , S _{2} , S _{3} , S _{4}라고 하자. 조건에서 S1=S2+S3+S4S _{1} = S _{2} + S _{3} + S _{4}이다.

ㄱ. S1>S2+S3S _{1} > S _{2} + S _{3}이므로, 다시 원점을 지나지 않는다. ㄴ. ∫0cv(t)dt=S1−S2−S3\displaystyle \int _{0} ^{c} v ( t ) dt = S _{1} - S _{2} - S _{3} ∫cdv(t)dt=S4=S1−S2−S3\displaystyle \int _{c} ^{d} v ( t ) dt = S _{4} = S _{1} - S _{2} - S _{3} ∴∫0cv(t)dt=∫cdv(t)dt\displaystyle \therefore \int _{0} ^{c} v ( t ) dt = \int _{c} ^{d} v ( t ) dt ㄷ. ∫0bv(t)dt=S1−S2\displaystyle \int _{0} ^{b} v ( t ) dt = S _{1} - S _{2} ∫bd∣v(t)∣dt=S3+S4\displaystyle \int _{b} ^{d} \left| v ( t ) \right| dt = S _{3} + S _{4} 조건에서 S1=S2+S3+S4S _{1} = S _{2} + S _{3} + S _{4}, S1−S2=S3+S4S _{1} - S _{2} = S _{3} + S _{4} ∴∫0bv(t)dt=∫bd∣v(t)∣dt\displaystyle \therefore \int _{0} ^{b} v ( t ) dt = \int _{b} ^{d} \left| v ( t ) \right| dt

태그

#속도와 거리#정적분

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