Sn과 an의 관계를 이용한 나머지 구하기

$a _{n} = S _{n} - S _{n-1} ( n \geq 2 )$이므로 $a _{n} = n ^{3} - ( n - 1 ) ^{3} = 3 n ^{2} - 3 n + 1$ ($n \geq 2$) $a _{2n} = 12 n ^{2} - 6 n + 1$ ($n \geq 1$) 그러므로 준 식은 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{100} {a _{2k}} = \sum\limits _{k = 1} ^{99} {a _{2k}} + a _{200}$ $\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{99} ( 12 k ^{2} - 6 k + 1 ) + a _{200} \cdots$(1) 식 (1)의 첫째항은 $99$의 배수이므로 $a _{200}$을 $99$로 나눈 나머지를 구하면 된다. $a _{200} = 3 \cdot 200 ^{2} - 3 \cdot 200 + 1$ $= 3 \cdot ( 2 \cdot 99 + 2 ) ^{2} - 3 \cdot ( 2 \cdot 99 + 2 ) + 1$ $= 99 k + 7$ 따라서, $a _{200}$을 $99$로 나눌 때 나머지는 $7$이다.