시야각 최대

위의 그림에서 $\angle \mathrm{BPO} = \alpha$, $\angle \mathrm{APO} = \beta$라 하면 $\theta = \alpha - \beta$ 이므로 $\tan \theta = \tan ( \alpha - \beta )$$\displaystyle = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \cdot \tan \beta}$ $\displaystyle = \frac{\frac{80}{y} - \frac{20}{y}}{1 + \frac{80}{y} \times \frac{20}{y}}$$\displaystyle = \frac{60 y}{y ^{2} + 1600}$$\displaystyle = \frac{60}{y + \frac{1600}{y}}$ $\cdots \cdots$㉠ 따라서, $\tan \theta$의 값이 최대가 되려면 $\displaystyle y + \frac{1600}{y}$이 최소값을 가져야 한다. 이 때, $y > 0$ 이므로 산술평균과 기하평균의 관계에서 $\displaystyle y + \frac{1600}{y} \geq 2 \sqrt{y \cdot \frac{1600}{y}} = 80$ $\cdots \cdots$㉡ 즉, ㉠, ㉡에서 $\displaystyle y = \frac{1600}{y}$, 즉 $y = 40$일 때 최소값을 가지므로 $\tan \theta$는 $y = 40$일 때, 최대값을 갖는다. 따라서, 점 P의 $y$좌표는 40이다.