대수삼각함수의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

신도시 공사비 최대

문제

두 도시 A,B\mathrm{A} , \mathrm{B}는 60km60 \mathrm{k} m 떨어져 있고, 도시 O\mathrm{O}는 두 도시의 중간 지점에 있다. 신도시의 위치를 도시 O\mathrm{O}에서 30km30 \mathrm{k} m 떨어진 지점에 정한 후, 신도시와 도시A\mathrm{A} 사이에는 22차로 직선 도로를, 신도시와 도시 B\mathrm{B} 사이에는 44차로 직선 도로를 건설하려고 한다. 22차로 도로는 km\mathrm{k} m당 66억 원, 44차로 도로는 km\mathrm{k} m당 88억 원의 공사비가 소요된다. 공사비가 최대가 되는 신도시의 위치를 P\mathrm{P}라 하고 ∠PAB=θ\angle \mathrm{P} AB = \theta라 할 때, tan⁡θ\tan \theta의 값은? [4점]

①43\displaystyle \frac{4}{3}②53\displaystyle \frac{5}{3}③22④73\displaystyle \frac{7}{3}⑤83\displaystyle \frac{8}{3}

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①

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해설

AP‾=AB‾cos⁡θ=60cos⁡θ\displaystyle \overline{AP} = \overline{AB} \cos \theta = 60 \cos \theta (km) BP‾=AB‾sin⁡θ=60sin⁡θ\displaystyle \overline{BP} = \overline{AB} \sin \theta = 60 \sin \theta (km) 이므로 총 공사비를 f(θ)f ( \theta ) (억 원)이라 하면 f(θ)=6×60cos⁡θ+8×60sin⁡θf ( \theta ) = 6 \times 60 \cos \theta + 8 \times 60 \sin \theta =120(4sin⁡θ+3cos⁡θ)= 120 ( 4 \sin \theta + 3 \cos \theta ) =600sin⁡(θ+α)= 600 \sin ( \theta + \alpha ) (단, sin⁡α=35,cos⁡α=45\displaystyle \sin \alpha = \frac{3}{5} , \cos \alpha = \frac{4}{5}) f(θ)f ( \theta )의 최대값은 θ+α=π2\displaystyle \theta + \alpha = \frac{\pi}{2}일 때, 600억 원이므로 tan⁡θ=tan⁡(π2−α)=cot⁡α\displaystyle \tan \theta = \tan \left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right) = \cot \alpha =cos⁡αsin⁡α=43\displaystyle = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{4}{3}

태그

#삼각함수합성#최대#활용

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