sin2x 그래프 대칭

[출제의도] 삼각함수의 그래프의 대칭성을 이용하여 교점의 $x$좌표의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$는 직선 $\displaystyle x = \frac{\pi}{4}$에 대하여 대칭이므로 $\displaystyle \frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{\pi}{4}$ ∴ $\displaystyle \alpha + \beta = \frac{\pi}{2}$ …… ㉠ 두 점 $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$는 직선 $\displaystyle x = \frac{3}{4} \pi$에 대하여 대칭이므로 $\displaystyle \frac{\gamma + \delta}{2} = \frac{3}{4} \pi$ ∴ $\displaystyle \gamma + \delta = \frac{3}{2} \pi$ …… ㉡ 두 점 $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$는 점 $\displaystyle \left( \frac{\pi}{2} , 0 \right)$에 대하여 대칭이므로 $\displaystyle \frac{\beta + \gamma}{2} = \frac{\pi}{2}$ ∴ $\beta + \gamma = \pi$ …… ㉢ ㉠, ㉡, ㉢에서 $\alpha + 2 \beta + 2 \gamma + \delta = ( \alpha + \beta ) + ( \beta + \gamma ) + ( \gamma + \delta )$ $\displaystyle = \frac{\pi}{2} + \pi + \frac{3}{2} \pi$ $= 3 \pi$ [다른 풀이] 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{D}$는 점 $\displaystyle \left( \frac{\pi}{2} , 0 \right)$에 대하여 대칭이므로 $\displaystyle \frac{\alpha + \delta}{2} = \frac{\pi}{2}$ ∴ $\alpha + \delta = \pi$ …… ㉣ 두 점 $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$는 점 $\displaystyle \left( \frac{\pi}{2} , 0 \right)$에 대하여 대칭이므로 $\displaystyle \frac{\beta + \gamma}{2} = \frac{\pi}{2}$ ∴ $\beta + \gamma = \pi$ …… ㉤ ㉣, ㉤에서 $\alpha + 2 \beta + 2 \gamma + \delta = ( \alpha + \delta ) + 2 ( \beta + \gamma )$ $= \pi + 2 \pi$$= 3 \pi$