sin2x/(1+sinx) 성질

ㄱ. 구간 $\displaystyle \left[ 0 , \frac{\pi}{2} \right]$에서 $0 \leq \sin 2 x \leq 1$이고 $1 \leq 1 + \sin x \leq 2$이므로 $\displaystyle f ( x ) = \frac{\sin 2 x}{1 + \sin x} \geq 0$이다. (참) ㄴ. $f ( 0 ) = 0$, $\displaystyle f \left( \frac{\pi}{2} \right) = 0$이므로 롤의 정리에 의해서 $f' ( c ) = 0$인 $c$가 열린 구간 $\displaystyle \left( 0 , \frac{\pi}{2} \right)$에 존재한다. (참) ㄷ. 열린 구간 $\displaystyle \left( 0 , \frac{\pi}{2} \right)$에서 $\sin 2 x \ne 0$이므로 열린 구간 $\displaystyle \left( 0 , \frac{\pi}{2} \right)$에서 $f ( x ) > 0$이다. ㄴ에서 $f ( 0 ) = 0$, $\displaystyle f \left( \frac{\pi}{2} \right) = 0$이므로 함수 $f ( x )$의 그래프와 $x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 $\displaystyle \int _{0} ^{\frac{\pi}{2}} f ( x ) dx$이다. $1 + \sin x = t$라 하면 $\cos x dx = dt$이고 $x = 0$일 때, $t = 1$이고 $\displaystyle x = \frac{\pi}{2}$일 때, $t = 2$이므로 $\displaystyle \int _{0} ^{\frac{\pi}{2}} f ( x ) dx$$\displaystyle = \int _{0} ^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin 2 x}{1 + \sin x} dx$ $\displaystyle = \int _{0} ^{\frac{\pi}{2}} \frac{2 \sin x \cos x}{1 + \sin x} dx$ $\displaystyle = \int _{1} ^{2} \frac{2 ( t - 1 )}{t} dt$ $\displaystyle = 2 \int _{1} ^{2} \left( 1 - \frac{1}{t} \right) dt$ $= 2 \left[ t - \ln t ] _{1} ^{2} \right.$$= 2 ( 1 - \ln 2 )$ (참) 따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

[다른 풀이] ㄴ. $f' ( x )$$\displaystyle = \frac{2 \cos 2 x ( 1 + \sin x ) - \sin 2 x \cos x}{\left( 1 + \sin x \right) ^{2}}$ $f' ( 0 ) = 2$, $\displaystyle f' \left( \frac{\pi}{2} \right)$$= - 1$이므로 중간값의 정리에 의하여 $f' ( c ) = 0$인 $c$가 열린 구간 $\displaystyle \left( 0 , \frac{\pi}{2} \right)$에 존재한다. (참)