대수삼각함수AI기본 문제 (3점 중반)

sin²x를 cos x로 바꾼 식의 최댓값

문제

함수 y=2sin⁡2x−2cos⁡x+1y = 2 \sin ^{2} x - 2 \cos x + 1의 최댓값이 qp\displaystyle \frac{q}{p}일 때, p+qp + q의 값을 구하시오. (단, pp, qq는 서로소인 자연수이다.) [3점]

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해설

sin⁡2x=1−cos⁡2x\sin ^{2} x = 1 - \cos ^{2} x이므로 y=−2cos⁡2x−2cos⁡x+3y = - 2 \cos ^{2} x - 2 \cos x + 3 cos⁡x=t\cos x = t (−1≤t≤1)( - 1 \leq t \leq 1 )라 하면 y=−2t2−2t+3=−2(t+12)2+72\displaystyle y = - 2 t ^{2} - 2 t + 3 = - 2 \left( t + \frac{1}{2} \right) ^{2} + \frac{7}{2} t=−12\displaystyle t = - \frac{1}{2}은 −1≤t≤1- 1 \leq t \leq 1에 속하므로 이때 최댓값 72\displaystyle \frac{7}{2}을 갖는다. 따라서 p=2p = 2, q=7q = 7이므로 p+q=9p + q = 9

태그

#삼각함수의 최대·최소#치환#sin·cos 변환

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