sin 곡선의 접선과 수열

[출제의도] 삼각함수의 그래프를 이용하여 주어진 명제의 참, 거짓을 판단할 수 있는가?

ㄱ. $( \sin x )' = \cos x$이므로 점 $( a _{n} , \sin a _{n} )$에서의 접선의 기울기는 $\cos a _{n} \cdots \text{㉠}$ 이 접선이 두 점 $\displaystyle \left( - \frac{\pi}{2} , 0 \right) , \left( a _{n} , \sin a _{n} \right)$ 을 지나므로 기울기는 $\displaystyle \frac{\sin a _{n} - 0}{a _{n} + \frac{\pi}{2}} \cdots \text{㉡}$ ㉠, ㉡에서 $\displaystyle \cos a _{n} = \frac{\sin a _{n}}{a _{n} + \frac{\pi}{2}}$ 이므로 $\displaystyle \frac{\sin a _{n}}{\cos a _{n}} = a _{n} + \frac{\pi}{2}$ 따라서 $\displaystyle \tan a _{n} = a _{n} + \frac{\pi}{2}$ (참) ㄴ. ㄱ에서 $a _{n}$은 곡선 $y = \tan x$와 직선 $\displaystyle y = x + \frac{\pi}{2}$의 교점의 $x$좌표를 작은 수부터 크기순으로 나열한 것이다.

위 그림에서 $a _{n + 1} > a _{n} + \pi$ 이므로 $a _{n + 1} - a _{n} > \pi$임을 알 수 있다. 따라서 $\displaystyle \tan a _{n + 2} - \tan a _{n} = \left( a _{n + 2} + \frac{\pi}{2} \right) - \left( a _{n} + \frac{\pi}{2} \right)$ $= a _{n + 2} - a _{n}$ $= ( a _{n + 2} - a _{n + 1} ) + ( a _{n + 1} - a _{n} )$ $> \pi + \pi = 2 \pi$ (참) ㄷ. ㄴ의 그림에서 $a _{n + 1} - ( a _{n} + \pi ) > ( a _{n + 3} - \pi ) - a _{n + 2}$ 이므로 $a _{n + 1} - a _{n} > a _{n + 3} - a _{n + 2}$ 따라서 $a _{n + 1} + a _{n + 2} > a _{n} + a _{n + 3}$ (참) 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.