미적분Ⅱ정적분의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

sin 곡선 넓이 조건

문제

그림과 같이 곡선 y=sin⁡π2x(0≤x≤2)\displaystyle y = \sin \frac{\pi}{2} x ( 0 \leq x \leq 2 )와 직선 y=k(0<k<1)y = k ( 0 < k < 1 )가 있다. 곡선 y=sin⁡π2x\displaystyle y = \sin \frac{\pi}{2} x와 직선 y=k,yy = k , y축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 S1,S _{1} , 곡선 y=sin⁡π2x\displaystyle y = \sin \frac{\pi}{2} x와 직선 y=ky = k로 둘러싸인 부분의 넓이를 S2S _{2}라 하자. S2=2S1S _{2} = 2 S _{1}일 때, 상수 kk의 값은? [3점]

①12π\displaystyle \frac{1}{2 \pi}②1π\displaystyle \frac{1}{\pi}③32π\displaystyle \frac{3}{2 \pi}④2π\displaystyle \frac{2}{\pi}⑤52π\displaystyle \frac{5}{2} \pi

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④

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해설

곡선 y=sin⁡π2x\displaystyle y = \sin \frac{\pi}{2} x는 x=1x = 1에 대하여 대칭이다. 곡선 y=sin⁡π2x\displaystyle y = \sin \frac{\pi}{2} x와 직선 y=ky = k의 교점을 그림과 같이 α\alpha, 2−α2 - \alpha로 놓을 수 있다.

S1=S _{1} =∫0α(k−sin⁡π2x)dx\displaystyle \int _{0} ^{\alpha} \left( k - \sin \frac{\pi}{2} x \right) dx S2S _{2}=∫α2−α(sin⁡π2x−k)dx\displaystyle = \int _{\alpha} ^{2-\alpha} \left( \sin \frac{\pi}{2} x - k \right) dx =2∫α1(sin⁡π2x−k)dx\displaystyle = 2 \int _{\alpha} ^{1} \left( \sin \frac{\pi}{2} x - k \right) dx S2=2S1S _{2} = 2 S _{1}이므로 ∫0α(k−sin⁡π2x)dx\displaystyle \int _{0} ^{\alpha} \left( k - \sin \frac{\pi}{2} x \right) dx=∫α1(sin⁡π2x−k)dx\displaystyle = \int _{\alpha} ^{1} \left( \sin \frac{\pi}{2} x - k \right) dx ∴ ∫0α(k−sin⁡π2x)dx+∫α1(k−sin⁡π2x)dx\displaystyle \int _{0} ^{\alpha} \left( k - \sin \frac{\pi}{2} x \right) dx + \int _{\alpha} ^{1} \left( k - \sin \frac{\pi}{2} x \right) dx =∫01(k−sin⁡π2x)dx\displaystyle = \int _{0} ^{1} \left( k - \sin \frac{\pi}{2} x \right) dx=0= 0 ∴ kk=∫01(sin⁡π2x)dx\displaystyle = \int _{0} ^{1} \left( \sin \frac{\pi}{2} x \right) dx =[−2πcos⁡π2x]01\displaystyle = \left[ - \frac{2}{\pi} \cos \frac{\pi}{2} x \right] _{0} ^{1} =2π\displaystyle = \frac{2}{\pi}

태그

#넓이#삼각함수 적분

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