sin(f(x)) 보기

위의 표에서 $x < 1$, $1 < x < 3$일 때, $f'' ( x ) > 0$이므로 $f' ( x )$는 증가하고 이 구간에서 $f ( x )$의 그래프는 아래로 볼록하다. 또한, $x = 1$일 때, $f' ( x ) = 0$이므로 $x = 1$의 좌우에서 $f ( x )$의 부호가 $-$에서 $+$로 바뀌게 된다. 따라서 $f ( x )$는 $x = 1$에서 극솟값을 갖고 그래프는 아래로 볼록하다. ㄱ. $g ( x ) = \sin ( f ( x ) )$에서 $g' ( x ) = \cos ( f ( x ) ) \times f' ( x )$ ∴ $g' ( 3 ) = \cos ( f ( 3 ) ) \times f' ( 3 )$$= \cos \pi \times f' ( 3 )$$= ( - 1 ) \times 1$$= - 1$ (참) ㄴ. $1 < x < 3$에서 $f ( x )$의 그래프는 아래로 볼록하며 증가하므로 $\displaystyle \frac{\pi}{2} < f ( x ) < \pi$ 따라서 $\displaystyle \frac{\pi}{2} < f ( x ) < \pi$에서 $g ( x ) = \sin ( f ( x ) )$의 그래프는 감소하면서 위로 볼록하다.

$x = 1$일 때, $g' ( 1 ) = \cos ( f ( 1 ) ) \times f' ( 1 )$$\displaystyle = \cos \frac{\pi}{2} \times 0 = 0$ $x = 3$일 때, $g' ( 3 ) = \cos ( f ( 3 ) ) \times f' ( 3 )$$= \cos \pi \times 1 = - 1$ 따라서 $1 < a < b < 3$에서 $\displaystyle - 1 < \frac{g ( b ) - g ( a )}{b - a} < 0$ (참) ㄷ. $g'' ( x ) = - \sin ( f ( x ) ) \times f' ( x ) \times f' ( x )$ $+ \cos ( f ( x ) ) \times f'' ( x )$ $x = 1$일 때, $g'' ( 1 ) = - \sin ( f ( 1 ) ) \times f' ( 1 ) \times f' ( 1 )$ $+ \cos ( f ( 1 ) ) \times f'' ( 1 )$ $\displaystyle = - \sin \frac{\pi}{2} \times 0 \times 0 + \cos \frac{\pi}{2} \times \frac{\pi}{2} = 0$ 이지만 $x < 1$과 $x > 1$에서 $g'' ( x )$의 부호가 같으므로 $x = 1$에서 변곡점을 갖지 않는다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.