미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

sinθ-cosθ 와 cos²2θ

문제

등식 sin⁡θ−cos⁡θ=12\displaystyle \sin \theta - \cos \theta = \frac{1}{2}을 만족하는 θ\theta에 대하여 cos⁡22θ=ba\displaystyle \cos ^{2} 2 \theta = \frac{b}{a}이다. a+ba + b의 값을 구하시오. (단, aa, bb는 서로소인 자연수이다.) [4점]

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23

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해설

sin⁡θ−cos⁡θ=12\displaystyle \sin \theta - \cos \theta = \frac{1}{2} 의 양변을 제곱하여 정리하면 1−2sin⁡θcos⁡θ=14\displaystyle 1 - 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{4}, 2sin⁡θcos⁡θ=34\displaystyle 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{3}{4}에서 sin⁡2θ=34\displaystyle \sin 2 \theta = \frac{3}{4} 이므로 cos⁡22θ=1−sin⁡22θ=1−916=716\displaystyle \cos ^{2} 2 \theta = 1 - \sin ^{2} 2 \theta = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16} ∴ a+b=23a + b = 23

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