미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

sinθ+cosθ 로 cos2θ

문제

sin⁡θ+cos⁡θ=153\displaystyle \sin \theta + \cos \theta = \frac{\sqrt{15}}{3}일 때, cos⁡2θ\cos 2 \theta의 값은?

(단.0<θ<π4)\displaystyle \left( \text{단} . 0 < \theta < \frac{\pi}{4} \right) [3점] ①23\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}②33\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}③23\displaystyle \frac{2}{3}④53\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{3}⑤63\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}

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④

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해설

(sin⁡θ+cos⁡θ)2=1+2sin⁡θcos⁡θ=159=53\displaystyle ( \sin \theta + \cos \theta ) ^{2} = 1 + 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{15}{9} = \frac{5}{3} ∴ 2sin⁡θcos⁡θ=sin⁡2θ=23\displaystyle 2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2 \theta = {\frac{2}{3}} 0<2θ<π2\displaystyle 0 < 2 \theta < \frac{\pi}{2}이므로 cos⁡2θ>0\cos 2 \theta > 0이고 ∴ cos⁡2θ=1−sin⁡22θ\displaystyle \cos 2 \theta = \sqrt{1 - \sin ^{2} 2 \theta}=1−49=53\displaystyle = \sqrt{1 - \frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}

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#배각공식#삼각함수

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