실수인 거듭제곱근의 집합

[출제의도] 거듭제곱근 이해하기 $x ^{a} = b$에서 $x$는 $b$의 $a$제곱근이다. (ⅰ) $a = 5$일 때, $b$의 $5$제곱근 중에서 실수인 것은 $b$의 값에 관계없이 오직 하나 존재한다. 따라서 실수인 $x$는 $\displaystyle \sqrt[5]{-} 3$, $\displaystyle \sqrt[5]{-} 2$, $\displaystyle \sqrt[5]{2}$, $\displaystyle \sqrt[5]{3}$, $\displaystyle \sqrt[5]{4}$ 이므로 개수는 $5$이다. (ⅱ) $a = 6$일 때, ① $b > 0$, 즉 $b = 2$, $3$, $4$일 때, $b$의 $a$제곱근 중 실수인 것은 양수와 음수 각각 한 개씩 존재한다. 따라서 실수인 $x$는 $\displaystyle \sqrt[6]{2}$, $\displaystyle - \sqrt[6]{2}$, $\displaystyle \sqrt[6]{3}$, $\displaystyle - \sqrt[6]{3}$, $\displaystyle \sqrt[6]{4}$, $\displaystyle - \sqrt[6]{4}$이므로 개수는 $6$이다. ② $b < 0$, 즉 $b = \mathit{-} 3$, $- 2$일 때, $b$의 $a$제곱근 중 실수인 것은 존재하지 않는다. (ⅰ), (ⅱ)에서 공통인 $x$의 값은 존재하지 않는다. 따라서 $n \left( C \right) = 11$이다.