실근의 합 함수 연속

[출제의도] 함수의 연속을 이용하여 문제 해결하기 $x < - 2$일 때 모든 양의 실수 $a$에 대하여 방정식 $f \left( x \right) = g \left( x \right)$의 근을 구하면 $- 3 x - 4 = - x + a$에서 $\displaystyle x = \frac{- a - 4}{2}$이다. $x \geq - 2$일 때 방정식 $f \left( x \right) = g \left( x \right)$의 근은 아래와 같이 세 가지의 경우로 나누어서 구할 수 있다. ⅰ) $k > 0$일 때

$y = f \left( x \right)$ $y = - x + a$

$x \geq - 2$에서 곡선 $y = kx ^{2} + 2 kx + 2$의 그래프와 직선 $y = - x + a$가 만나는 점의 $x$좌표는 다음과 같이 구할 수 있다. $kx ^{2} + 2 kx + 2 = - x + a$ $kx ^{2} + ( 2 k + 1 ) x + 2 - a = 0$ $\displaystyle x = \frac{- ( 2 k + 1 ) + \sqrt{( 2 k + 1 ) ^{2} - 4 k ( 2 - a )}}{2 k}$ $\displaystyle x = \frac{- ( 2 k + 1 ) + \sqrt{( 2 k - 1 ) ^{2} + 4 ak}}{2 k}$ 따라서 모든 양수 $a$에 대하여 $\displaystyle h ( a ) = \frac{- a - 4}{2} + \frac{- ( 2 k + 1 ) + \sqrt{4 ka + ( 2 k - 1 ) ^{2}}}{2 k}$ 이고 두 연속함수의 합은 연속이므로 함수 $h ( a )$는 연속이다. ⅱ) $k = 0$일 때

$y = f \left( x \right)$ $y = - x + a$

$x \geq - 2$에서 직선 $y = 2$의 그래프와 직선 $y = - x + a$가 만나는 점의 $x$좌표는 $- x + a = 2$에서 $x = a - 2$이다. 따라서 모든 양의 실수 $a$에 대하여 $\displaystyle h ( a ) = \frac{- a - 4}{2} + ( a - 2 ) = \frac{a}{2} - 4$ 이고 함수 $h ( a )$는 연속이다. ⅲ) $k < 0$일 때 그림과 같이 $x > - 2$인 부분에서 곡선 $y = f \left( x \right)$와 직선 $y = - x + a$가 접할 때 판별식을 이용하여 $a$의 값을 $k$에 관하여 나타내면 다음과 같다.

$y = f \left( x \right)$ $y = - x + a$

$kx ^{2} + 2 kx + 2 = - x + a$ $kx ^{2} + \left( 2 k + 1 \right) x + 2 - a = 0$ $\cdots \cdots ( * )$ $D = \left( 2 k + 1 \right) ^{2} - 4 k \left( 2 - a \right) = 0$에서 $\displaystyle a = 2 - \frac{\left( 2 k + 1 \right) ^{2}}{4 k} = 1 - k - \frac{1}{4 k}$ 따라서 곡선 $y = f \left( x \right)$와 직선 $y = - x + a$의 위치 관계는 다음 그림과 같다. ① $\displaystyle 0 < a \leq 1 - k - \frac{1}{4 k}$일 때

$y = f \left( x \right)$ $y = - x + a$

$x \geq - 2$에서 방정식 $f \left( x \right) = g \left( x \right)$는 실근을 갖고 $( * )$에서 두 실근의 합은 $\displaystyle - \frac{2 k + 1}{k}$이다. ② $\displaystyle a > 1 - k - \frac{1}{4 k}$일 때

$y = f \left( x \right)$ $y = - x + a$

$x \geq - 2$에서 방정식 $f \left( x \right) = g \left( x \right)$는 실근을 갖지 않는다. ①, ②에 의해 양의 실수 $a$에 대하여 $h \left( a \right)$는 다음과 같다. $\displaystyle h \left( a \right) = {\begin{cases} \frac{- a - 4}{2} - \frac{2 k + 1}{k} & \left( 0 < a \leq 1 - k - \frac{1}{4 k} \right) \\ \frac{- a - 4}{2} & \left( a > 1 - k - \frac{1}{4 k} \right) \end{cases}}$ $h \left( a \right)$가 모든 양의 실수 $a$에 대하여 연속이기 위해서는 함숫값과 극한값이 같아야 하므로 $\displaystyle \frac{2 k + 1}{k} = 0$에서 $\displaystyle k = - \frac{1}{2}$

ⅰ), ⅱ), ⅲ)에 의해 모든 양의 실수 $a$에 대하여 $h \left( a \right)$가 항상 연속이 되도록 하는 상수 $k$의 값의 범위는 $\displaystyle k = - \frac{1}{2}$ 또는 $k \geq 0$이다. 따라서 최솟값은 $\displaystyle k = - \frac{1}{2}$이므로 $\displaystyle p ^{2} = \frac{1}{4}$이다. 그러므로 $\displaystyle 120 \times \frac{1}{p ^{2}} = 120 \times 4 = 480$이다.