실근 개수 함수 연속

[출제의도] 함수의 연속성을 활용하여 추론하기 $( x - 1 ) \left\{ x ^{2} ( x - 3 ) - t \right\} = 0$ $x = 1$ 또는 $x ^{2} ( x - 3 ) - t = 0$ $x ^{2} ( x - 3 ) - t = 0$의 서로 다른 실근의 개수는 $y = x ^{2} ( x - 3 )$의 그래프와 직선 $y = t$의 교점의 개수와 같다.

따라서 $y = f ( t )$의 그래프는 다음과 같다.

함수 $f ( t )$가 $t = - 4$, $- 2$, $0$에서 불연속이다. 함수 $f ( t ) g ( t )$가 실수 전체의 집합에서 연속이기 위해서는 $t = - 4$, $- 2$, $0$에서 연속이어야 한다. $t = - 4$일 때, $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow - 4 -} {} f ( t ) g ( t ) = 2 g ( - 4 )$,$\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow - 4 +} {} f ( t ) g ( t ) = 4 g ( - 4 )$, $f ( - 4 ) g ( - 4 ) = 3 g ( - 4 )$이고 함수 $f ( t ) g ( t )$가 $t = - 4$에서 연속이므로 $2 g ( - 4 ) = 4 g ( - 4 ) = 3 g ( - 4 )$ 따라서 $g ( - 4 ) = 0$ 같은 방법으로 $g ( - 2 ) = g ( 0 ) = 0$ (가)에서 $g ( x )$가 삼차 이하의 다항함수이므로 $g ( x ) = a x ( x + 2 ) ( x + 4 )$ $( a \neq 0 )$이라 하면 (나)에서 $g ( - 3 ) = 6$이므로 $a = 2$ $g ( x ) = 2 x ( x + 2 ) ( x + 4 )$ 따라서 $g ( 1 ) = 30$