실근 개수 함수 불연속

조건 (가)에서 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} g \left( t \right) = 6$이므로 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프는 $x$축과 서로 다른 세 점에서 만나야 한다. 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프가 $x$축과 만나는 서로 다른 세 점의 $x$좌표는 $x = a$, $x = b$, $x = 4$이어야 하므로 $\displaystyle a < 4 \leq \frac{3}{2} a$, $\displaystyle b > \frac{3}{2} a$ 또는 $\displaystyle a < 4 \leq \frac{3}{2} a$, $b < a$ $\displaystyle 4 = \frac{3}{2} a$이면 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow 0 +} g \left( t \right) = 5$이므로 $\displaystyle 4 < \frac{3}{2} a$이어야 한다. (Ⅰ) $\displaystyle a < 4 < \frac{3}{2} a$, $\displaystyle b > \frac{3}{2} a$인 경우 $x < a$ 또는 $\displaystyle x > \frac{3}{2} a$에서 함수 $y = \left| \left( x - a \right) \left( x - b \right) \right|$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

모든 양의 실수 $m$에 대하여 $x < a$ 또는 $\displaystyle x > \frac{3}{2} a$일 때, 직선 $y = m$과 함수 $y = \left| \left( x - a \right) \left( x - b \right) \right|$의 그래프가 만나는 서로 다른 점의 개수는 $2$ 이상이므로 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow m +} g \left( t \right) \geq 2$이다. 그러므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다. (Ⅱ) $\displaystyle a < 4 < \frac{3}{2} a$, $b < a$인 경우 $\displaystyle \left| f \left( \frac{3}{2} a \right) \right| = \left| \frac{a}{2} \left( \frac{3}{2} a - 4 \right) \right| = \frac{a}{2} \left( \frac{3}{2} a - 4 \right)$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \frac{3}{2} a +} \left| f \left( x \right) \right|$$\displaystyle = \left| \frac{a}{2} \left( \frac{3}{2} a - b \right) \right|$$\displaystyle = \frac{a}{2} \left( \frac{3}{2} a - b \right)$ $b < 4$이므로 $\displaystyle \left| f \left( \frac{3}{2} a \right) \right| < \lim\limits _{x \rightarrow \frac{3}{2} a +} \left| f \left( x \right) \right|$이다. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \frac{3}{2} a +} \left| f \left( x \right) \right| = k _{1}$이라 하면 $\displaystyle \left| f \left( \frac{b + a}{2} \right) \right| \geq k _{1}$ 또는 $\displaystyle \left| f \left( \frac{a + 4}{2} \right) \right| \geq k _{1}$일 때 모든 양의 실수 $m$에 대하여 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow m +} g \left( t \right) \geq 2$이므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다. 그러므로 $\displaystyle \left| f \left( \frac{b + a}{2} \right) \right| < k _{1}$이고, $\displaystyle \left| f \left( \frac{a + 4}{2} \right) \right| < k _{1}$이다. $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow k _{1} -} {} g \left( t \right) = 1$, $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow k _{1} +} {} g \left( t \right) = 2$이므로 함수 $g \left( t \right)$는 $t = k _{1}$에서 불연속이다. 조건 (나)에 의하여 $\beta = k _{1}$이다. (Ⅰ), (Ⅱ)에 의하여 $\displaystyle b < a < 4 < \frac{3}{2} a$, $\displaystyle \left| f \left( \frac{b + a}{2} \right) \right| < \beta$, $\displaystyle \left| f \left( \frac{a + 4}{2} \right) \right| < \beta$, $\displaystyle \left| f \left( \frac{3}{2} a \right) \right| < \beta$ 함수 $g ( t )$는 $t = \alpha$, $t = \beta$에서만 불연속이므로 다음과 같이 경우를 나눌 수 있다. (ⅰ) $\displaystyle \left| f \left( \frac{b + a}{2} \right) \right| \ne \left| f \left( \frac{a + 4}{2} \right) \right|$인 경우 함수 $g ( t )$가 $\displaystyle t = \left| f \left( \frac{b + a}{2} \right) \right|$, $\displaystyle t = \left| f \left( \frac{a + 4}{2} \right) \right|$, $t = \beta$에서 불연속이므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다. (ⅱ) $\displaystyle \left| f \left( \frac{a + 4}{2} \right) \right| \ne \left| f \left( \frac{3}{2} a \right) \right|$인 경우 함수 $g ( t )$가 $\displaystyle t = \left| f \left( \frac{a + 4}{2} \right) \right|$, $\displaystyle t = \left| f \left( \frac{3}{2} a \right) \right|$, $t = \beta$에서 불연속이므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다. (ⅲ) $\displaystyle \left| f \left( \frac{b + a}{2} \right) \right| \ne \left| f \left( \frac{3}{2} a \right) \right|$인 경우 함수 $g ( t )$가 $\displaystyle t = \left| f \left( \frac{b + a}{2} \right) \right|$, $\displaystyle t = \left| f \left( \frac{3}{2} a \right) \right|$, $t = \beta$에서 불연속이므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다. (ⅳ) $\displaystyle \left| f \left( \frac{b + a}{2} \right) \right| = \left| f \left( \frac{a + 4}{2} \right) \right| = \left| f \left( \frac{3}{2} a \right) \right|$인 경우 $\displaystyle \left| f \left( \frac{3}{2} a \right) \right| = k _{2}$라 하면 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow k _{2} -} g ( t ) = 6$, $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow k _{2} +} g ( t ) = 1$이므로 함수 $g ( t )$는 $t = k _{2}$, $t = \beta$에서만 불연속이다. (ⅰ)$\sim$(ⅳ)에 의하여 $\alpha = k _{2}$이다. 함수 $y = \left| f \left( x \right) \right|$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

$\displaystyle \left| f \left( \frac{a + 4}{2} \right) \right| = \left| f \left( \frac{3}{2} a \right) \right|$이므로 $\displaystyle \frac{\left( a - 4 \right) ^{2}}{4} = \frac{a \left( 3 a - 8 \right)}{4}$ $a ^{2} - 8 a + 16 = 3 a ^{2} - 8 a$, $a ^{2} = 8$ $a > 0$이므로 $\displaystyle a = 2 \sqrt{2}$ $\displaystyle \left| f \left( \frac{b + a}{2} \right) \right| = \left| f \left( \frac{a + 4}{2} \right) \right|$이므로 $\displaystyle \frac{\left( a - b \right) ^{2}}{4} = \frac{\left( 4 - a \right) ^{2}}{4}$ $b < a < 4$이므로 $a - b = 4 - a$ $\displaystyle b = 2 a - 4 = 4 \sqrt{2} - 4$ $\displaystyle f \left( 0 \right) = ab = 2 \sqrt{2} \left( 4 \sqrt{2} - 4 \right) = 16 - 8 \sqrt{2}$ $p = 16$, $q = - 8$ 따라서 $p ^{2} + q ^{2} = 256 + 64 = 320$