시그마 등식 귀납법

다음은 모든 자연수 $n$에 대하여 등식 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{2 n + 1} ( n ^{2} + k ) = n ^{3} + ( n + 1 ) ^{3}$ 이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

<증명> (ⅰ) $n = 1$일 때, (좌변)= (가) , (우변)= (가) 이므로 주어진 등식은 성립한다. (ⅱ) $n = m$($m \geq 1 )$일 때, 주어진 등식이 성립한다고 가정하자. $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{2 ( m + 1 ) + 1} \left\{ ( m + 1 ) ^{2} + k \right\}$ $\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{2 m + 1} \left\{ ( m + 1 ) ^{2} + k \right\}$+ (나)

$\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{2 m + 1} ( m ^{2} + k ) + \sum\limits _{k = 1} ^{2 m + 1} ( 2 m + 1 )$+ (나)

$=$ (다) + $( 2 m + 1 ) ^{2}$ + (나)

$= ( m + 1 ) ^{3} + ( m + 2 ) ^{3}$ 그러므로 $n = m + 1$일 때에도 성립한다. (i), (ii)에 의하여 모든 자연수 $n$에 대하여 주어진 등식은 성립한다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점]