대수수학적 귀납법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

시에르핀스키 꼭짓점 수

문제

한 개의 정삼각형에서 각 변의 중점을 선분으로 이으면 44개의 작은 정삼각형이 생긴다. 이때, 가운데 정삼각형 하나를 잘라내면 33개의 정삼각형이 남는다. 남은 33개의 각 정삼각형에서 같은 과정을 반복하면 모두 99개의 정삼각형이 남고, 다시 99개의 각 정삼각형에서 같은 과정을 반복하면 모두 2727개의 정삼각형이 남는다. 그림은 이와 같은 과정을 계속하여 만들어지는 도형을 나타낸 것이다.

[첫 번째] [두 번째] [세 번째]

두 정삼각형이 공유하는 꼭짓점은 한 개의 꼭짓점으로 셀 때, nn번째 도형에서 남은 정삼각형들의 꼭짓점의 개수를 ana _{n}이라 하자. 예를 들어 a1=6a _{1} = 6, a2=15a _{2} = 15이다. a5a _{5}의 값은? [4점] ①366366②376376③386386④396396⑤406406

정답 보기
①

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

주어진 규칙에 따라 각 항의 값을 구하면 a1=6a _{1} = 6, a2=15=3a1−3a _{2} = 15 = 3 a _{1} - 3 a3=3a2−3a _{3} = 3 a _{2} - 3 … 이므로 an+1=3an−3a _{n + 1} = 3 a _{n} - 3이 성립함을 알 수 있다. an+1−32=3(an−32)\displaystyle a _{n + 1} - \frac{3}{2} = 3 \left( a _{n} - \frac{3}{2} \right)에서 an−32=(a1−32)⋅3n−1\displaystyle a _{n} - \frac{3}{2} = \left( a _{1} - \frac{3}{2} \right) \cdot 3 ^{n - 1} ∴ an=32(3n+1)\displaystyle a _{n} = \frac{3}{2} ( 3 ^{n} + 1 ) 따라서 a5=32(35+1)=366\displaystyle a _{5} = \frac{3}{2} ( 3 ^{5} + 1 ) = 366이다.

태그

#점화식#규칙 찾기

비슷한 문제 더 보기

대수 문제 모음대수 수학적 귀납법 문제 모음수능 문제 모음발전 문제 모음
← 전체 문제 목록으로