서로 수직인 두 직선에 대한 대칭점 사이의 거리

실마리: 두 직선 $y = 2 x$, $x + 2 y = 0$은 기울기의 곱이 $- 1$이고 모두 원점을 지나므로 원점에서 서로 수직으로 만난다. 점 $\mathrm{Q}$의 좌표를 $( a , b )$라 하면 직선 $y = 2 x$는 선분 $\mathrm{PQ}$의 수직이등분선이다. 중점 $\displaystyle \left( \frac{a + 4}{2} , \frac{b + 3}{2} \right)$가 직선 $y = 2 x$ 위에 있으므로 $\displaystyle \frac{b + 3}{2} = a + 4$, 즉 $b = 2 a + 5$ 직선 $\mathrm{PQ}$의 기울기가 $\displaystyle - \frac{1}{2}$이므로 $\displaystyle \frac{b - 3}{a - 4} = - \frac{1}{2}$, 즉 $a + 2 b = 10$ 연립하여 풀면 $a = 0$, $b = 5$이므로 $\mathrm{Q} ( 0 , 5 )$ 점 $\mathrm{R}$의 좌표를 $( c , d )$라 하면 직선 $x + 2 y = 0$은 선분 $\mathrm{PR}$의 수직이등분선이다. 중점 $\displaystyle \left( \frac{c + 4}{2} , \frac{d + 3}{2} \right)$가 직선 $x + 2 y = 0$ 위에 있으므로 $\displaystyle \frac{c + 4}{2} + ( d + 3 ) = 0$, 즉 $c + 2 d = - 10$ 직선 $\mathrm{PR}$의 기울기가 $2$이므로 $\displaystyle \frac{d - 3}{c - 4} = 2$, 즉 $d = 2 c - 5$ 연립하여 풀면 $c = 0$, $d = - 5$이므로 $\mathrm{R} ( 0 , - 5 )$ 다른 풀이: 원점 $\mathrm{O}$는 두 대칭축 위에 있으므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{OQ}} = \overline{\mathrm{OP}} = \overline{\mathrm{OR}} = \mathit{5}$이고, 각 $\mathrm{QOR}$의 크기는 두 대칭축이 이루는 각의 크기의 $2$배, 즉 $180$도이다. 즉 세 점 $\mathrm{Q}$, $\mathrm{O}$, $\mathrm{R}$는 한 직선 위에 있고 $\displaystyle \overline{\mathrm{QR}} = 2 \overline{\mathrm{OP}}$이다. 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{QR}} = 5 - ( - 5 ) = 10$이다.