서로 내접·외접하는 네 원

중심이 $\mathrm{C}$인 반지름의 길이를 $r _{1}$, 중심이 $\mathrm{D}$인 원의 반지름의 길이를 $r _{2}$라고 하자.

$\displaystyle \mathrm{\overline{AC}}$$= 3 + r _{1}$(외접), $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}}$$= 4 - r _{1}$(내접)이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{AC}} - \overline{BC}$$= 2 r _{1} - 1 = 1$에서 $r _{1} = 1$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AD}}$$= 3 + r _{2}$(외접), $\displaystyle \mathrm{\overline{CD}}$$= 1 + r _{2}$(외접), $\displaystyle \mathrm{\overline{BD}}$$= 4 - r _{2}$(내접) 이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = 1$, $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} = 3$ $\mathrm{\angle} DBA$$= \theta$라 하면 $\mathrm{\angle} DBC$$= \pi - \theta$ $\triangle$$\mathrm{DAB}$에서 코사인법칙을 이용하면 $\cos \theta$$\displaystyle = \frac{1 ^{2} + ( 4 - r _{2} ) ^{2} - ( 3 + r _{2} ) ^{2}}{2 \cdot 1 \cdot ( 4 - r _{2} )}$$\displaystyle = \frac{4 - 7 r _{2}}{4 - r _{2}}$ ……㉠ $\triangle \mathrm{DBC}$에서 코사인법칙을 이용하면 $\cos ( \pi - \theta )$$= - \cos \theta$$\displaystyle = \frac{3 ^{2} + ( 4 - r _{2} ) ^{2} - ( 1 + r _{2} ) ^{2}}{2 \cdot 3 \cdot ( 4 - r _{2} )}$$\displaystyle = \frac{12 - 5 r _{2}}{3 ( 4 - r _{2} )}$ ……㉡ ㉠+㉡ : $\displaystyle \frac{( 12 - 21 r _{2} ) + 12 - 5 r _{2}}{3 ( 4 - r _{2} )} = 0$ 즉, $24 - 26 r _{2} = 0$ $\displaystyle \therefore r _{2} = \frac{12}{13}$