성분 조건 행렬 개수

[출제의도] 행렬의 거듭제곱을 이용하여 문제 해결하기 $\displaystyle A = {\begin{pmatrix} a & b \\ c & a \end{pmatrix}}$에서 $\displaystyle \begin{aligned} A ^{2} & = {\begin{pmatrix} a & b \\ c & a \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} a & b \\ c & a \end{pmatrix}} & = {\begin{pmatrix} a ^{2} + bc & 2 ab \\ 2 ac & a ^{2} + bc \end{pmatrix}} \end{aligned}$ 이므로 $a ^{2} + bc > 0$, $2 ab > 0$, $2 ac > 0$이다. 이를 정리하면 $ab > 0 , ac > 0$ 이다. 따라서 서로 다른 세 원소 $a , b , c$의 부호는 모두 같아야 한다. $a , b , c$가 모두 양수인 행렬 $A$의 개수는 집합 $\left\{ - 3 , - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 \right\}$에서 양수 $4$개 중 서로 다른 $3$개를 선택하여 배열하는 방법의 수와 같으므로 ${} _{4} \mathrm{P} _{3} = 24$이다. $a , b , c$가 모두 음수인 행렬 $A$의 개수는 위와 같은 방법으로 음수 $3$개 중 서로 다른 $3$개를 선택하여 배열하는 방법의 수와 같으므로 $3 ! = 6$이다. 따라서 행렬의 개수는 $24 + 6 = 30$이다.