선분이 그리는 도형 넓이

[출제의도] 원과 직선의 위치관계를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기 주어진 조건 (가)에 의해 $x _{2} = - 2 x _{1} + 6$이므로 점 $\mathrm{Q} \left( \mathit{-} 2 x _{1} + 6 , y _{2} \right)$라 하고 이를 원 $C _{2}$에 대입하면 $\displaystyle \left( - 2 x _{1} \right) ^{2} + \left( y _{2} - 4 + 6 \sqrt{3} \right) ^{2} = 16 \cdots \text{㉠}$ 점 $\mathrm{P} \left( \mathit{x} _{1} , y _{1} \right)$가 원 $C _{1}$위의 점이므로 대입하면 $x _{1} ^{2} + \left( y _{1} - 4 \right) ^{2} = 4 \cdots \text{㉡}$ $\text{㉠}$과 $\text{㉡}$을 연립하여 정리하면 $\displaystyle \left( y _{1} - 4 \right) ^{2} = \left( \frac{y _{2}}{2} - 2 + 3 \sqrt{3} \right) ^{2}$ 조건 (나)에 의해 $y _{1} - 4 \leq 0$, $\displaystyle \frac{y _{2}}{2} - 2 + 3 \sqrt{3} \geq 0$이므로 $\displaystyle - y _{1} + 4 = \frac{y _{2}}{2} - 2 + 3 \sqrt{3}$ 이를 정리하면 $\displaystyle 2 y _{1} + y _{2} = 12 - 6 \sqrt{3}$ 양변을 $3$으로 나누면 $\displaystyle \frac{2 y _{1} + y _{2}}{3} = 4 - 2 \sqrt{3}$ 그러므로 점$\displaystyle \left( 2 , 4 - 2 \sqrt{3} \right)$은 선분 $\mathrm{PQ}$를 $1 : 2$로 내분하는 점이다. $x _{1} = 0$일 때, $\mathrm{P} \left( 0 , 2 \right)$, $\displaystyle \mathrm{Q} \left( 6 , 8 - 6 \sqrt{3} \right)$ $x _{1} = 1$일 때, $\displaystyle \mathrm{P} \left( 1 , 4 - \sqrt{3} \right)$, $\displaystyle \mathrm{Q} \left( 4 , 4 - 4 \sqrt{3} \right)$이고 이때 직선 $\mathrm{PQ}$의 방정식은 $\displaystyle y = - \sqrt{3} x + 4$이므로 두 원 $C _{1}$, $C _{2}$의 중심을 지난다. $0 \leq x _{1} \leq 1$이므로 선분 $\mathrm{PQ}$가 지나간 부분은 그림의 어두운 부분과 같다.

원 $C _{1}$의 중심을 $\mathrm{O} _{1} \left( 0 , 4 \right)$, 원 $C _{2}$의 중심을 $\displaystyle \mathrm{O} _{2} \left( 6 , 4 - 6 \sqrt{3} \right)$, $\mathrm{A} \left( 0 , 2 \right)$, $\displaystyle \mathrm{B} \left( 1 , 4 - \sqrt{3} \right)$, $\displaystyle \mathrm{C} \left( 2 , 4 - 2 \sqrt{3} \right)$, $\displaystyle \mathrm{D} \left( 6 , 8 - 6 \sqrt{3} \right)$이라 하자. 점 $\mathrm{B}$에서 $y$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 삼각형 $\mathrm{O} _{1} HB$는 직각삼각형이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{BH}} = 1$, $\displaystyle \overline{\mathrm{O} _{1} H} = \sqrt{3}$ 그러므로 $\angle \mathrm{HO} _{1} B = 30 ^\circ$ $S _{1}$의 넓이는 삼각형 $\mathrm{O} _{1} AC$의 넓이에서 부채꼴 $\mathrm{O} _{1} AB$의 넓이를 뺀 값과 같다. 삼각형 $\mathrm{O} _{1} AC$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$이고 부채꼴 $\mathrm{O} _{1} AB$의 넓이는 $\displaystyle \pi \times 2 ^{2} \times \frac{30 ^\circ}{360 ^\circ} = \frac{\pi}{3}$ 즉, $S _{1}$의 넓이는 $\displaystyle 2 - \frac{\pi}{3}$ 삼각형 $\mathrm{O} _{1} AC$와 삼각형 $\mathrm{O} _{2} DC$는 닮음이다. 닮음비가 $1 : 2$이므로 $S _{1}$과 $S _{2}$의 넓이의 비는 $1 : 4$ 그러므로 $S _{2}$의 넓이는 $\displaystyle 8 - \frac{4}{3} \pi$ 선분 $\mathrm{PQ}$가 그리는 도형의 넓이는 $\displaystyle 10 - \frac{5}{3} \pi$ 따라서 $a = 10$, $\displaystyle b = \frac{5}{3}$이므로 $a + 9 b = 25$