선분과 만나는 원의 중심

[출제의도] 원과 선분이 만날 때 두 점 사이의 거리의 최댓값과 최솟값을 구한다.

원의 중심 $\mathrm{P}$가 나타내는 영역은 선분 $\mathrm{AB}$ 위의 모든 점과의 거리가 원의 반지름의 길이인 $1$보다 작거나 같은 점들의 집합이다. 따라서 그림과 같이 점 $\mathrm{B} \mathit{(} 4 , 3 )$을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $1$인 원 $C _{1}$의 둘레 및 내부, 점 $\mathrm{A} \mathit{(} 1 , - 1 )$을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $1$인 원 $C _{2}$의 둘레 및 내부 그리고 직선 $\mathrm{AB}$와의 거리가 $1$인 두 선분으로 둘러싸인 영역의 경계와 내부이다. 직선 $\mathrm{OB}$가 원 $C _{1}$과 만나는 점 중 원점으로부터 더 멀리 떨어진 점을 $\mathrm{P} _{1}$이라 하면 선분 $\mathrm{OP}$의 길이의 최댓값은 선분 $\mathrm{OP} _{1}$의 길이와 같다. $\displaystyle M = {\overline{\mathrm{OP} _{1}}} = \sqrt{4 ^{2} + 3 ^{2}} + 1$$= 6$ 원점 $\mathrm{O}$에서 선분 $\mathrm{AB}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 할 때, 선분 $\mathrm{OP}$의 길이의 최솟값은 선분 $\mathrm{OH}$의 길이에서 원의 반지름의 길이인 $1$을 뺀 선분 $\mathrm{OP} _{2}$의 길이와 같다. 이때, 선분 $\mathrm{OH}$의 길이는 원점 $\mathrm{O}$와 직선 $\mathrm{AB}$ 사이의 거리이므로 직선 $\mathrm{AB}$의 방정식은 $\displaystyle y = \frac{3 - ( - 1 )}{4 - 1} ( x - 1 ) - 1$ $4 x - 3 y - 7 = 0$ $m$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{OP} _{2}}} = {\overline{\mathrm{OH}}} - 1$$\displaystyle = \frac{\left| - 7 \right|}{\sqrt{4 ^{2} + 3 ^{2}}} - 1$$\displaystyle = \frac{2}{5}$ $\displaystyle M + m = 6 + \frac{2}{5}$$\displaystyle = \frac{32}{5}$