선분과 만나는 정수 기울기의 개수

$kx - y - 2 k + 3 = 0$에서 $y = k \left( x - 2 \right) + 3$이므로 이 직선은 $k$의 값에 관계없이 점 $\mathrm{P} \mathit{\left( 2 , 3 \right)}$을 지난다. 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$는 직선 $x = 2$를 사이에 두고 양쪽에 있고, 선분 $\mathrm{AB}$는 이 직선과 점 $\left( 2 , 0 \right)$에서 만나므로 점 $\mathrm{P}$보다 아래쪽에서 가로지른다. 직선 $\mathrm{PA}$의 기울기는 $\displaystyle \frac{1 - 3}{0 - 2} = 1$ 직선 $\mathrm{PB}$의 기울기는 $\displaystyle \frac{- 1 - 3}{4 - 2} = - 2$ 따라서 직선이 선분 $\mathrm{AB}$와 만나려면 $k \geq 1$ 또는 $k \leq - 2$ $- 5 \leq k \leq 5$인 정수 $k$는 $- 5$, $- 4$, $- 3$, $- 2$와 $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ 따라서 구하는 개수는 $9$