선분 위 점 최솟값

[출제의도] 이차함수의 그래프를 이용하여 최대 최소 문제 해결하기

$\displaystyle y = - \frac{1}{4} x + 1$ $\mathrm{P} ( \mathit{a} , b )$

점 $\mathrm{P} ( \mathit{a} , b )$는 직선 $\displaystyle y = - \frac{1}{4} x + 1$ 위의 점이므로 $\displaystyle b = - \frac{1}{4} a + 1$이다. $\displaystyle b = - \frac{1}{4} a + 1$을 주어진 식에 대입하면 $\displaystyle \begin{aligned} a ^{2} + 8 b & = a ^{2} + 8 \left( - \frac{1}{4} a + 1 \right) \\ & = a ^{2} - 2 a + 8 \\ & = \left( a - 1 \right) ^{2} + 7 \end{aligned}$ 이다. 그런데 $\mathrm{A} ( 0 , 1 )$, $\mathrm{B} ( 4 , 0 )$이므로 $0 \leq a \leq 4$이다. 따라서 $a = 1$일 때, $a ^{2} + 8 b$의 최솟값은 $7$이다. [다른 풀이] $a = - 4 b + 4$를 주어진 식에 대입하면 $\displaystyle \begin{aligned} a ^{2} + 8 b & = \left( - 4 b + 4 \right) ^{2} + 8 b \\ & = 16 b ^{2} - 32 b + 16 + 8 b \\ & = 16 b ^{2} - 24 b + 16 \\ & = 16 \left( b ^{2} - \frac{3}{2} b + \frac{9}{16} \right) + 7 \\ & = 16 \left( b - \frac{3}{4} \right) ^{2} + 7 \end{aligned}$ 이다. 그런데 $\mathrm{A} ( 0 , 1 )$, $\mathrm{B} ( 4 , 0 )$이므로 $0 \leq b \leq 1$이다. 따라서 $\displaystyle b = \frac{3}{4}$일 때, $a ^{2} + 8 b$의 최솟값은 $7$이다.