선분 길이와 y절편 극한

[출제의도] 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 함수의 극한에 관한 문제를 해결한다. 직선 $l$의 기울기가 $1$이고 $y$절편은 $g ( t )$이므로 직선 $l$의 방정식은 $y = x + g ( t )$이다. 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$의 $x$좌표를 각각 $\alpha$, $\beta$라 하면 $\alpha$, $\beta$는 이차방정식 $x ^{2} = x + g ( t )$ 즉, $x ^{2} - x - g ( t ) = 0$의 두 근이다. 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 $\alpha + \beta$$= 1$, $\alpha \beta$$= \mathit{-} g ( t )$ $\cdots \cdots$ ㉠ 한편 $\mathrm{A}$$\left( \alpha , \alpha + g ( t ) \right)$, $\mathrm{B}$$\left( \beta , \beta + g ( t ) \right)$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} ^{2}$$= \left( \alpha - \beta \right) ^{2} + \left( \alpha - \beta \right) ^{2}$$= 2 \left( \alpha - \beta \right) ^{2}$ 이고 ㉠에서 $\left( \alpha - \beta \right) ^{2}$$= \left( \alpha + \beta \right) ^{2} - 4 \alpha \beta$$= 1 + 4 g ( t )$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} ^{2}$$= 2 + 8 g ( t )$에서 $4 t ^{2} = 2 + 8 g ( t )$ $g ( t )$$\displaystyle = \frac{2 t ^{2} - 1}{4}$ 따라서 $\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow \infty} {\frac{g ( t )}{t ^{2}}}$$\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow \infty} {\frac{2 t ^{2} - 1}{4 t ^{2}}}$$\displaystyle = \frac{1}{2}$