선분 길이의 삼각함수 극한

그림에서 $B ( 2 , 0 )$, $O' = ( 1 , 0 )$이라 하자. 또한 직선$AP$가 원$( x - 1 ) ^{2} + y ^{2} = 1$과 만나는 두 점 중 점$P$로부터 먼 점을 $C$, 가까운 점을 $Q$라 하고, 선분$CQ$의 중점을 $H$라 할 때, 삼각형 $CO' Q$는 이등변삼각형이므로 $\displaystyle \angle O' HQ = \frac{\pi}{2}$이다. 따라서 두 삼각형 $APB$와 $AHO'$은 서로 닮음이고 $\displaystyle {\overline{AP}} = 4 \cos \theta$이므로 $\displaystyle {\overline{PH}} = \cos \theta$ 이다. 또한 $\displaystyle {\overline{O' H}} = 3 \sin \theta$이고 삼각형 $QHO'$은 직각삼각형이므로 $\displaystyle {\overline{QH}} = \sqrt{1 - 9 \sin ^{2} \theta}$ $\displaystyle {\overline{PQ}} = \cos \theta - \sqrt{1 - 9 \sin ^{2} \theta}$$\displaystyle = \cos \theta - \sqrt{\cos ^{2} \theta - 8 \sin ^{2} \theta}$ $\therefore$ $\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow + 0} \frac{\overline{PQ}}{\theta ^{2}}$$\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {} \frac{\cos \theta - \sqrt{\cos ^{2} \theta - 8 \sin ^{2} \theta}}{\theta ^{2}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {} \frac{8 \sin ^{2} \theta}{\theta ^{2} ( \cos \theta + \sqrt{\cos ^{2} \theta - 8 \sin ^{2} \theta} )}$ $\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {} 8 ( \frac{\sin \theta}{\theta} ) ^{2} \times \frac{1}{\cos \theta + \sqrt{\cos ^{2} \theta - 8 \sin ^{2} \theta}}$ $\displaystyle = 8 \times 1 ^{2} \times \frac{1}{2} = 4$