미적분Ⅰ함수의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

선분 길이의 극한

문제

실수 tt(t>0t > 0)에 대하여 직선 y=tx+t+1y = tx + t + 1과 곡선 y=x2−tx−1y = x ^{2} - tx - 1이 만나는 두 점을 A\mathrm{A}, B\mathrm{B}라 할 때, lim⁡t→∞AB‾t2\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow \infty} {\frac{{\overline{\mathrm{AB}}}}{t ^{2}}}의 값은? [4점] ①22\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}②11③2\displaystyle \sqrt{2}④22⑤22\displaystyle 2 \sqrt{2}

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④

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해설

[출제의도] 함수의 극한을 활용하여 문제를 해결한다. 두 점 A\mathrm{A}, B\mathrm{B}의 xx좌표를 각각 α\alpha, β\beta(α<β\alpha < \beta)라 하면 α\alpha, β\beta는 이차방정식 x2−tx−1=tx+t+1x ^{2} - tx - 1 = tx + t + 1, 즉 x2−2tx−2−t=0x ^{2} - 2 tx - 2 - t = 0의 두 실근이므로 α=t−t2+t+2\displaystyle \alpha = t - \sqrt{t ^{2} + t + 2}, β=t+t2+t+2\displaystyle \beta = t + \sqrt{t ^{2} + t + 2} β−α=2t2+t+2\displaystyle \beta - \alpha = 2 \sqrt{\mathit{t} ^{2} + t + 2}이고 직선 AB\mathrm{AB}의 기울기가 tt이므로 AB‾=2t2+t+2t2+1\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = \mathit{2} \sqrt{t ^{2} + t + 2} \sqrt{t ^{2} + 1} lim⁡t→∞AB‾t2\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow \infty} {\frac{{\overline{\mathrm{AB}}}}{t ^{2}}}=lim⁡t→∞2(t2+t+2)(t2+1)t2\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow \infty} {\frac{\mathit{2 \sqrt{\left( t ^{2} + t + 2 \right) \left( t ^{2} + 1 \right)}}}{t ^{2}}} =2lim⁡t→∞(1+1t+2t2)(1+1t2)\displaystyle = 2 \lim\limits _{t \rightarrow \infty} {\sqrt{\left( 1 + \frac{1}{t} + \frac{2}{t ^{2}} \right) \left( 1 + \frac{1}{t ^{2}} \right)}}=2= 2

태그

#근과 계수의 관계#극한

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