선분 길이의 극한

[출제의도] 수학내적 문제해결능력-삼각함수 원점 $O$에서 직선 $\displaystyle y = \sqrt{3} x - 2 \sqrt{3}$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\displaystyle {\overline{OH}}$는 원점 $O$와 직선 $\displaystyle y = \sqrt{3} x - 2 \sqrt{3}$사이의 거리와 같으므로 $\displaystyle {\overline{OH}} = \frac{\left| - 2 \sqrt{3} \right|}{\sqrt{3 + 1}} = \sqrt{3}$이고, 점 $( 2 , 0 )$을 $A$라 하면 $\displaystyle \angle OAH = \frac{\pi}{3}$이므로 $\displaystyle \angle OQH = \frac{\pi}{3} - \theta$이다.

직각삼각형 $OQH$에서 $\displaystyle \sin \left( \frac{\pi}{3} - \theta \right) = \frac{OH}{OQ} = \frac{\sqrt{3}}{2 + l ( \theta )}$ $\displaystyle \therefore l ( \theta ) = \frac{\sqrt{3}}{\sin \left( \frac{\pi}{3} - \theta \right)} - 2$$\displaystyle = \frac{\sqrt{3} - 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta - \frac{1}{2} \sin \theta \right)}{\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta - \frac{1}{2} \sin \theta}$ $\displaystyle = \frac{2 \sqrt{3} \left( 1 - \cos \theta \right) + 2 \sin \theta}{\sqrt{3} \cos \theta - \sin \theta}$ 따라서 $\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {} \frac{l ( \theta )}{\theta} = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {} \frac{2 \sqrt{3} ( 1 - \cos \theta ) + 2 \sin \theta}{\theta ( \sqrt{3} \cos \theta - \sin \theta )}$ $\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0 +} {} \left[ \frac{1}{\sqrt{3} \cos \theta - \sin \theta} \times \left\{ \frac{2 \sqrt{3} ( 1 - \cos \theta )}{\theta} + \frac{2 \sin \theta}{\theta} \right\} \right]$ $\displaystyle = \frac{1}{\sqrt{3}} \times ( 0 + 2 ) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 따라서 $p = 3$, $q = 2$이므로 $p ^{2} + q ^{2} = 13$