선분 길이 최솟값

[출제의도] 절대부등식을 이용하여 도형 문제 해결하기 $a > 1$이고 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$의 좌표가 각각 $\displaystyle \left( a , \frac{1}{a - 1} \right)$, $\left( a , - 4 a \right)$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PQ}}} = \frac{\mathit{1}}{a - 1} + 4 a$이다. 이때 $a - 1 > 0$이므로 $\displaystyle \begin{aligned} 4 a + \frac{1}{a - 1} & = 4 \left( a - 1 \right) + \frac{1}{a - 1} + 4 \end{aligned}$ $\displaystyle \begin{aligned} & \geq 2 \sqrt{4 \left( a - 1 \right) \times \frac{1}{a - 1}} + 4 \end{aligned}$$= 4 + 4 = 8$ (단, 등호는 $\displaystyle a = \frac{3}{2}$일 때 성립) 이다. 따라서 선분 $\mathrm{PQ}$의 길이의 최솟값은 $8$이다.