대수등차수열과 등비수열수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

선분 붙여 그리기 규칙

문제

한 평면 위에 다음과 같은 단계에 따라 선분들을 차례대로 그림과 같이 그려 나간다.


	[1단계]: 길이가 $1$ 인 선분을 그린다. [2단계]: [1단계]에서 그린 선분의 길이의 $\displaystyle \frac{1}{2}$ 만큼 왼쪽에, $\displaystyle \frac{1}{4}$ 만큼 오른쪽에 [1단계]에 그려진 선분에 붙여 그린다. [3단계]: [2단계]에서 그린 각 선분의 길이의 $\displaystyle \frac{1}{2}$ 만큼 왼쪽에, $\displaystyle \frac{1}{4}$ 만큼 오른쪽에 [2단계]에 그려진 선분에 붙여 그린다. $\vdots$

이와 같은 과정을 계속하여 [ $n$ 단계]에서 그린 선분들의 길이의 합을 $a _{n}$ 이라 하자. 이 때, $a _{10}$ 의 값은? [4점] ① $\displaystyle \left( \frac{4}{5} \right) ^{10}$ ② $\displaystyle \left( \frac{3}{4} \right) ^{9}$ ③ $\displaystyle \left( \frac{4}{5} \right) ^{9}$ ④ $\displaystyle \left( \frac{3}{4} \right) ^{8}$ ⑤ $\displaystyle \left( \frac{4}{5} \right) ^{8}$

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②

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해설

[출제의도] 도형의 규칙성을 이용하여 수학내적 문제해결하기 $a _{1} = 1$ , $\displaystyle a _{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ , $\displaystyle a _{3} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \right) + \frac{1}{4} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \right) = \left( \frac{3}{4} \right) ^{2}$ , $\cdots$ 이므로 $\displaystyle a _{n} = \left( \frac{3}{4} \right) ^{n - 1}$ $\displaystyle \therefore a _{10} = \left( \frac{3}{4} \right) ^{9}$

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