세제곱합 조건 증명

임의의 자연수 $n$ 에 대하여 $a _{n} > 0$ 이고, $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k} ^{3} = \left( \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k} \right) ^{2}$이면 $a _{n} = n$ 임을 증명하는 과정이다. 임의의 자연수 $n$에 대하여 $a _{n} > 0$ 이고 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k} ^{3} = \left( \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k} \right) ^{2}$이므로 $\displaystyle a _{k + 1} ^{3} = \sum\limits _{i = 1} ^{k + 1} a _{i} ^{3} - \sum\limits _{i = 1} ^{k} a _{i} ^{3}$ $\displaystyle = \left( \sum\limits _{i = 1} ^{k + 1} a _{i} \right) ^{2} - \left( \sum\limits _{i = 1} ^{k} a _{i} \right) ^{2}$ $\displaystyle = \left( \sum\limits _{i = 1} ^{k + 1} a _{i} - \sum\limits _{i = 1} ^{k} a _{i} \right) \left( \sum\limits _{i = 1} ^{k + 1} a _{i} + \sum\limits _{i = 1} ^{k} a _{i} \right)$ $=$$a _{k + 1}$$($$a _{k + 1}$$\displaystyle + 2 \sum\limits _{i = 1} ^{k} a _{i} )$ $\displaystyle \therefore a _{k + 1} ^{2} = a _{k + 1} + 2 \sum\limits _{i = 1} ^{k} a _{i} \ldots \ldots \ldots \text{①}$ 즉, $a _{k} ^{2} = a _{k} + 2 \sum\limits _{i = 1} ^{k - 1} a _{i} \ldots \ldots \ldots \text{ ②}$ ①과 ②에서 $a _{k + 1} ^{2} - a _{k} ^{2} =$$a _{k + 1} + a _{k}$ $a _{k+1} - a _{k} = 1$ $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k} ^{3} = \left( \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k} \right) ^{2}$에서 $n = 1$을 대입하여 정리 하면 $a _{1} = 1$이므로 $\left\{ a _{n} \right\}$은 첫째항이 $1$이고 공차가 $1$인 등차수열이다. ∴ $a _{n} = n$