세제곱근 합의 무리수 증명

다음은 $\displaystyle {}^{} \sqrt[3]{2} + ^{} \sqrt[3]{4}$가 무리수임을 증명하는 과정이다.

(증명) $\displaystyle {}^{} \sqrt[3]{2} + ^{} \sqrt[3]{4} = m$($m$은 유리수 )라 가정하면 $\displaystyle m = \frac{q}{p} ( p , q$는 서로소인 자연수)로 놓을 수 있다. $\displaystyle m ^{3} = ( ^{} \sqrt[3]{2} + ^{} \sqrt[3]{4} ) ^{3} = 6$( (가) ) …… ㉠ $\displaystyle m = \frac{q}{p}$를 ㉠에 대입하여 정리하면 $q ^{3} =$(나) ․ $p ^{2} ( p + q )$ …… ㉡ 이므로 $q ^{3}$은 (나) 의 배수가 된다. 따라서 $q =$(나) $k$ ($k$ 는 자연수) …… ㉢ 로 놓을 수 있으므로 ㉢을 ㉡에 대입하여 정리하면 $p ^{2} ( 6 k + p ) = 36 k ^{3}$ 그런데 $p , q$가 모두 짝수가 되므로 $p , q$가 서로소라는 가정에 모순이다. 그러므로 $\displaystyle {}^{} \sqrt[3]{2} + ^{} \sqrt[3]{4}$는 무리수이다.

위의 증명에서 (가), (나)에 알맞은 것은? [4점] (가) (나) ①$m - 1$ $3$②$m - 1$ $6$③$m + 1$ $2$④$m + 1$ $3$⑤$m + 1$ $6$