공통수학1다항식의 연산수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

세제곱근 합

문제

두 실수 a,ba , b에 대하여 a3=9−45,b3=9+45\displaystyle a ^{3} = 9 - 4 \sqrt{5} , b ^{3} = 9 + 4 \sqrt{5}일 때, a+ba + b의 값을 구하시오. [4점]

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해설

[출제의도] 다항식의 곱셈을 이용하여 수학내적문제 해결하기 a3+b3=18a ^{3} + b ^{3} = 18, a3b3=1a ^{3} b ^{3} = 1에서 ab=1ab = 1 a3+b3=(a+b)3−3ab(a+b)=18a ^{3} + b ^{3} = ( a + b ) ^{3} - 3 ab ( a + b ) = 18 ⋯⋯㉠\cdots \cdots \text{㉠} a+b=ta + b = t(tt는 실수)라 하면 ㉠\text{㉠}에서 t3−3t−18=(t−3)(t2+3t+6)=0t ^{3} - 3 t - 18 = ( t - 3 ) ( t ^{2} + 3 t + 6 ) = 0 따라서 실수 t=a+b=3t = a + b = 3

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#곱셈공식#삼차방정식

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