세제곱근 간단히

[출제의도] 지수법칙을 이용한 거듭제곱근 추론하기 $\displaystyle \alpha = \sqrt[3]{2 + \sqrt{5}}$, $\displaystyle \beta = \sqrt[3]{2 - \sqrt{5}}$라 두면 $\displaystyle \begin{aligned} \alpha \beta & = \sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} \sqrt[3]{2 - \sqrt{5}} = \sqrt[3]{( 2 + \sqrt{5} ) ( 2 - \sqrt{5} )} \\ & = \sqrt[3]{- 1} = {\square {- 1}} \end{aligned}$ 이다. $\alpha + \beta = x$라 하면 $( \alpha + \beta ) ^{3} = \alpha ^{3} + 3 \alpha ^{2} \beta + 3 \alpha \beta ^{2} + \beta ^{3}$을 이용하여 삼차방정식 $x ^{3} + 3 x - 4 = 0$을 얻을 수 있다. $x ^{3} + 3 x - 4 = 0$ $( x - 1 ) ( x ^{2} + x + 4 ) = 0$ 에서 이 방정식의 실근은 $x = 1$뿐이므로 $\alpha + \beta = 1$이다. 따라서 $\alpha + \beta = 1$과 $\alpha \beta = {\square {- 1}}$인 실수 $\alpha$,$\beta$를 두 근으로 하는 최고차항의 계수가 $1$인 이차방정식은 ${\square {x ^{2} - x - 1 = 0}}$이다. 이 이차방정식의 두 근 $\alpha$,$\beta$가 $\beta < 0 < \alpha$이므로 $\displaystyle \sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} = {\square {\frac{1 + \sqrt{5}}{2}}}$이다. 따라서 $a = - 1$, $\displaystyle b = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$이므로 $\displaystyle a + 10 b = - 1 + 10 \left( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \right) = 4 + 5 \sqrt{5}$이다.