공통수학1다항식의 연산수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

세 원의 넓이의 합

문제

그림과 같이 중심이 O1{\mathrm{O}} \mathit{_{1}}인 원 C1C _{1} 위에 두 점 A{\mathrm{A}}, B{\mathrm{B}}를 ∠BO1A=90∘\angle {\mathrm{BO}} \mathit{_{1}} {\mathrm{A}} = \mathit{90} ^\circ가 되도록 잡는다. 선분 O1A{\mathrm{O}} \mathit{_{1}} {\mathrm{A}} 위의 점 C\mathrm{C}에 대하여 선분 AC\mathrm{AC}를 지름으로 하는 원을 C2C _{2}, 선분 O1B{\mathrm{O}} \mathit{_{1}} {\mathrm{B}} 위의 점 D\mathrm{D}에 대하여 선분 BD\mathrm{BD}를 지름으로 하는 원을 C3C _{3}이라 하고, 두 원 C2C _{2}, C3C _{3}의 중심을 각각 O2{\mathrm{O}} \mathit{_{2}}, O3{\mathrm{O}} \mathit{_{3}}이라 하자. 사각형 AO2O3B{\mathrm{AO}} \mathit{_{2}} {\mathrm{O}} \mathit{_{3}} {\mathrm{B}}의 넓이가 34\mathrm{34}이고 O1C‾+O1D‾=62\displaystyle \overline{{\mathrm{O}} \mathit{_{1}} {\mathrm{C}}} + \overline{{\mathrm{O}} \mathit{_{1}} {\mathrm{D}}} = 6 \sqrt{2}일 때, 세 원 C1C _{1}, C2C _{2}, C3C _{3}의 넓이의 합이 pπp \pi이다. pp의 값을 구하시오. (단, 점 C\mathrm{C}는 점 A\mathrm{A}도 아니고 점 O1{\mathrm{O}} \mathit{_{1}}도 아니며, 점 D\mathrm{D}는 점 B\mathrm{B}도 아니고 점 O1{\mathrm{O}} \mathit{_{1}}도 아니다.) [4점]

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154

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해설

세 원 C1C _{1}, C2C _{2}, C3C _{3}의 반지름의 길이를 각각 aa, bb, cc라 하자. ((사각형 AO2O3B{\mathrm{AO}} \mathit{_{2}} {\mathrm{O}} \mathit{_{3}} {\mathrm{B}}의 넓이)) =(= \left( \right.삼각형 AO1B{\mathrm{AO}} \mathit{_{1}} {\mathrm{B}}의 넓이)−(\left. \right) - \left( \right.삼각형 O2O1O3{\mathrm{O}} \mathit{_{2}} {\mathrm{O}} \mathit{_{1}} {\mathrm{O}} \mathit{_{3}}의 넓이)\left. \right) =12×O1A‾×O1B‾−12×O1O2‾×O1O3‾\displaystyle = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{O} \mathit{_{1}} \mathrm{A}}} \times {\overline{\mathrm{O} \mathit{_{1}} \mathrm{B}}} - \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{O} \mathit{_{1}} \mathrm{O} \mathit{_{2}}}} \times {\overline{\mathrm{O} \mathit{_{1}} \mathrm{O} \mathit{_{3}}}} =12a2−12(a−b)(a−c)\displaystyle = \frac{1}{2} a ^{2} - \frac{1}{2} \left( a - b \right) \left( a - c \right) =12(ab−bc+ca)\displaystyle = \frac{1}{2} \left( ab - bc + ca \right) 이고, 사각형 AO2O3B\mathrm{AO} \mathit{_{2}} \mathrm{O} \mathit{_{3}} \mathrm{B}의 넓이가 34\mathrm{34}이므로 ab−bc+ca=68a b - b c + c a = 68 또한 O1C‾+O1D‾=62\displaystyle \overline{{\mathrm{O}} \mathit{_{1}} {\mathrm{C}}} + \overline{{\mathrm{O}} \mathit{_{1}} {\mathrm{D}}} = 6 \sqrt{2}에서 (a−2b)+(a−2c)=62\displaystyle \left( a - 2 b \right) + \left( a - 2 c \right) = 6 \sqrt{2} a−b−c=32\displaystyle a - b - c = 3 \sqrt{2} 그러므로 세 원 C1C _{1}, C2C _{2}, C3C _{3}의 넓이의 합은 a2π+b2π+c2πa ^{2} \pi + b ^{2} \pi + c ^{2} \pi=(a2+b2+c2)π= \left( a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} \right) \pi ={(a−b−c)2+2(ab−bc+ca)}π= \left\{ \left( a - b - c \right) ^{2} + 2 \left( a b - b c + c a \right) \right\} \pi ={(32)2+2×68}π\displaystyle = \left\{ \left( 3 \sqrt{2} \right) ^{2} + 2 \times 68 \right\} \pi =154π= 154 \pi 따라서 p=154p = 154

태그

#곱셈공식 변형#원의 넓이

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