미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

세 원의 공통외접선

문제

그림과 같이 반지름의 길이가 같고 중심이 일직선 위에 있는 세 원 O2\mathrm{O} _{\mathit{2}}, O1\mathrm{O} _{\mathit{1}}, O3\mathrm{O} _{3}이 있다. 두 원 O2\mathrm{O} _{\mathit{2}}와 O3\mathrm{O} _{3}이 원 O1\mathrm{O} _{\mathit{1}}에 각각 외접할 때, 세 원의 공통외접선을 각각 l1l _{1}, l2l _{2}라 하자. l1l _{1}과 원 O1\mathrm{O} _{\mathit{1}}의 접점을 A\mathrm{A}, l2l _{2}와 원 O2\mathrm{O} _{\mathit{2}}의 접점을 B\mathrm{B}, l1l _{1}과 원 O3\mathrm{O} _{\mathit{3}}의 접점을 C\mathrm{C}라 할 때, ∠ABC=θ\mathrm{\angle} ABC = \theta에 대하여 cot⁡3θ\cot ^{3} \theta의 값을 구하시오. [3점]

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해설

[출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 이용한 수학 내적 문제해결하기

원의 반지름의 길이를 aa라 하고 ∠CBH=α\angle \mathrm{CBH} = \alpha라 하면 θ=π4−α\displaystyle \theta = \frac{\pi}{4} - \alpha tan⁡α=2a4a=12\displaystyle \tan \alpha = \frac{2 a}{4 a} = \frac{1}{2} ∴tan⁡θ=tan⁡(π4−α)=tan⁡π4−tan⁡α1+tan⁡π4tan⁡α=1−121+12=13\displaystyle \therefore \tan \theta = \tan \left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right) = \frac{\tan \frac{\pi}{4} - \tan \alpha}{1 + \tan \frac{\pi}{4} \tan \alpha} = \frac{1 - \frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{1}{3} ∴cot⁡3θ=(1tan⁡θ)3=33=27\displaystyle \therefore \cot ^{3} \theta = \left( \frac{1}{\tan \theta} \right) ^{3} = 3 ^{3} = 27

태그

#탄젠트 덧셈정리#원

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