공통수학1이차방정식과 이차함수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

세 원 넓이 합 빈칸

문제

길이가 1010인 선분 AB\mathrm{AB}를 지름으로 하는 반원이 있다. 그림과 같이 호 AB\mathrm{AB} 위의 점 P\mathrm{P}에 대하여 현 AP\mathrm{AP}의 중점과 호 AP\mathrm{AP}의 중점을 지름의 양끝으로 하는 원을 O1O _{1}, 현 BP\mathrm{BP}의 중점과 호 BP\mathrm{BP}의 중점을 지름의 양끝으로 하는 원을 O2O _{2}, 삼각형 PAB\mathrm{PAB}에 내접하는 원을 O{O}라 하자. 다음은 세 원 O1,O2,OO _{1} , O _{2} , O의 넓이의 합의 최솟값을 구하는 과정을 나타낸 것이다.

그림과 같이 두 현 AP,BP\mathrm{AP} , BP의 중점을 각각 Q,R\mathrm{Q} , R라 하고 선분 AB\mathrm{AB}의 중점을 C\mathrm{C}라 하면 사각형 PQCR\mathrm{PQCR}는 직사각형이다.

PQ‾=a,PR‾=b\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} = \mathit{a} , \mathrm{\overline{PR}} = \mathit{b}라 하면 a2+b2=a ^{2} + b ^{2} =□(가){\square {{}^{{} _{{} _{} ^{{} ^{{} ^{}}}} ^{}} ( \text{가} ) ^{{} ^{{} _{{} _{} ^{{} ^{{} ^{}}}}}}}}이다. 원 O1O _{1}의 반지름의 길이를 r1r _{1}, 원 O2O _{2}의 반지름의 길이를 r2r _{2}, 원 OO의 반지름의 길이를 rr라 하면 CQ‾=5−2r1\displaystyle \mathrm{\overline{CQ}} = \mathit{5} - 2 r _{1}, CR‾=5−2r2\displaystyle \mathrm{\overline{CR}} = \mathit{5} - 2 r _{2}이다. 이때 CQ‾=PR‾\displaystyle \mathrm{\overline{CQ}} = \overline{PR}, CR‾=PQ‾\displaystyle \mathrm{\overline{CR}} = {\overline{PQ}}이므로 r1=5−b2\displaystyle r _{1} = \frac{5 - b}{2}, r2=5−a2\displaystyle r _{2} = \frac{5 - a}{2} 이다. 한편, 원 밖의 한 점에서 그 원에 그은 두 접선의 길이는 같으므로 (2a−r)+(2b−r)=2×\left( 2 a - r \right) + \left( 2 b - r \right) = 2 \times□(나)\square {{}^{{} _{{} _{} ^{{} ^{{} ^{}}}} ^{}} ( \text{나} ) ^{{} ^{{} _{{} _{} ^{{} ^{{} ^{}}}}}}}이다. 따라서 r=a+b−r = a + b -□(나)\square {{}^{{} _{{} _{} ^{{} ^{{} ^{}}}} ^{}} ( \text{나} ) ^{{} ^{{} _{{} _{} ^{{} ^{{} ^{}}}}}}} 이다. 그러므로 세 원 O1,O2,OO _{1} , O _{2} , O의 넓이의 합은 π(r12+r22+r2)=π{(5−b2)2+(5−a2)2+(a+b−□(나))2}⋯①\displaystyle \pi ( r _{1} ^{2} + r _{2} ^{2} + r ^{2} ) = \pi \left\{ \left( \frac{5 - b}{2} \right) ^{2} + \left( \frac{5 - a}{2} \right) ^{2} + \left( a + b - {\square {{}_{} ^{{} _{{} _{} ^{{} ^{{} ^{}}}} ^{}} ( \text{나} ) _{} ^{{} ^{{} _{{} _{} ^{{} ^{{} ^{}}}}}}}} \right) ^{2} \right\} \cdots \text{①} 이다. a+b=ta + b = t (5<t≤52)\displaystyle ( 5 < t \leq 5 \sqrt{2} )라 하면 식 ①\text{①}은 π(t−□(다))2+7516π\displaystyle \pi \left( t - {\square {{}_{} ^{{} _{{} _{} ^{{} ^{{} ^{}}}} ^{}} ( \text{다} ) _{} ^{{} ^{{} _{{} _{} ^{{} ^{{} ^{}}}}}}}} \right) ^{2} + \frac{75}{16} \pi 이므로 세 원 O1,O2,OO _{1} , O _{2} , O의 넓이의 합의 최솟값은 7516π\displaystyle \frac{75}{16} \pi이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 α,β,γ\alpha , \beta , \gamma라 할 때, (α−β)×γ( \alpha - \beta ) \times \gamma의 값은?　[4점] ①100100②125125③150150④175175⑤200200

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②

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해설

[출제의도] 이차함수와 도형의 관계 추론하기

그림과 같이 두 현 AP,BP\mathrm{AP} , BP의 중점을 각각 Q,R\mathrm{Q} , R라 하고 선분 AB\mathrm{AB}의 중점을 C\mathrm{C}라 하면 사각형 PQCR\mathrm{PQCR}는 직사각형이다. PQ‾=a,PR‾=b\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} = \mathit{a} , \mathrm{\overline{PR}} = \mathit{b}라 하면 a2+b2=a ^{2} + b ^{2} =□25\square {{}^{} _{{} _{} ^{{} ^{{} ^{}}}} {}^{} 25 ^{} {}^{} _{{} _{} ^{{} ^{{} ^{}}}}}이다. 원 O1O _{1}의 반지름의 길이를 r1r _{1}, 원 O2O _{2}의 반지름의 길이를 r2r _{2}, 원 OO의 반지름의 길이를 rr라 하면 CQ‾=5−2r1\displaystyle \mathrm{\overline{CQ}} = \mathit{5} - 2 r _{1}, CR‾=5−2r2\displaystyle \mathrm{\overline{CR}} = \mathit{5} - 2 r _{2}이다. 이때 CQ‾=PR‾\displaystyle \mathrm{\overline{CQ}} = \overline{PR}, CR‾=PQ‾\displaystyle \mathrm{\overline{CR}} = {\overline{PQ}}이므로 b=5−2r1b = 5 - 2 r _{1}, a=5−2r2a = 5 - 2 r _{2}이고, r1=5−b2,r2=5−a2\displaystyle r _{1} = \frac{5 - b}{2} , r _{2} = \frac{5 - a}{2} 이다. 한편, 원 밖의 한 점에서 그 원에 그은 두 접선의 길이는 같으므로 (2a−r)+(2b−r)=10=2×( 2 a - r ) + ( 2 b - r ) = 10 = 2 \times□5\square {{}^{{} _{{} _{} ^{{} ^{{} ^{}}}} ^{}} 5 ^{{} ^{{} _{{} _{} ^{{} ^{{} ^{}}}}}}}이다. 따라서 r=a+b−r = a + b -□5\square {{}^{{} _{{} _{} ^{{} ^{{} ^{}}}} ^{}} 5 ^{{} ^{{} _{{} _{} ^{{} ^{{} ^{}}}}}}} 이다. 그러므로 세 원 O1,O2,OO _{1} , O _{2} , O의 넓이의 합은 π(r12+r22+r2)=π{(5−b2)2+(5−a2)2+(a+b−□5)2}⋯①\displaystyle \begin{aligned} \pi ( r _{1} ^{2} + r _{2} ^{2} + r ^{2} ) \\ = \pi \left\{ \left( \frac{5 - b}{2} \right) ^{2} + \left( \frac{5 - a}{2} \right) ^{2} + \left( a + b - {\square {{}_{} ^{{} _{{} _{} ^{{} ^{{} ^{}}}} ^{}} 5 _{} ^{{} ^{{} _{{} _{} ^{{} ^{{} ^{}}}}}}}} \right) ^{2} \right\} \cdots \text{①} \end{aligned} 이다. a+b=t(5<t≤52)\displaystyle a + b = t ( 5 < t \leq 5 \sqrt{2} )라 하면 식 ①은 π(t−□254)2+7516π\displaystyle \pi \left( t - \square {{}_{} ^{{} _{{} _{} ^{{} ^{{} ^{}}}} ^{}} \frac{25}{4 _{} ^{{} ^{{} _{{} _{} ^{{} ^{{} ^{}}}}}}}} \right) ^{2} + \frac{75}{16} \pi 이므로 세 원 O1,O2,OO _{1} , O _{2} , O의 넓이의 합의 최솟값은 7516π\displaystyle \frac{75}{16} \pi이다. 따라서 α=25,β=5,γ=254\displaystyle \alpha = 25 , \beta = 5 , \gamma = \frac{25}{4}이므로 (α−β)×γ=125( \alpha - \beta ) \times \gamma = 125 이다.

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