세 수 곱의 합 귀납법

[출제의도] 수학적 귀납법을 활용하여 추론하기 모든 자연수 $n$에 대하여 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} k \left( k + 1 \right) \left( k + 2 \right) = \frac{n \left( n + 1 \right) \left( n + 2 \right) \left( n + 3 \right)}{4}$$\cdots \cdots$㉠이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하면 다음과 같다. (ⅰ) $n = 1$일 때 (좌변)$= 1 \times 2 \times 3 = 6$ (우변)$\displaystyle = \frac{1 \times 2 \times 3 \times 4}{4} = 6$ 이므로 ㉠이 성립한다. (ⅱ) $n = m$일 때 ㉠이 성립한다고 가정하면 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{m} k \left( k + 1 \right) \left( k + 2 \right) = \frac{m \left( m + 1 \right) \left( m + 2 \right) \left( m + 3 \right)}{4}$ $\cdots \cdots$㉡ ㉡의 양변에 ${\square {\left( m + 1 \right) \left( m + 2 \right) \left( m + 3 \right)}}$을 더하면 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{m + 1} k \left( k + 1 \right) \left( k + 2 \right)$ $\displaystyle = \frac{m \left( m + 1 \right) \left( m + 2 \right) \left( m + 3 \right)}{4}$$+$${\square {\left( m + 1 \right) \left( m + 2 \right) \left( m + 3 \right)}}$ $\displaystyle = \frac{m \left( m + 1 \right) \left( m + 2 \right) \left( m + 3 \right) + 4 \left( m + 1 \right) \left( m + 2 \right) \left( m + 3 \right)}{4}$ $\displaystyle = \frac{\left( m + 1 \right) \left( m + 2 \right) \times {\square {\left( m + 3 \right) \left( m + 4 \right)}}}{4}$ 따라서 $n = m + 1$일 때에도 ㉠이 성립한다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 $n$에 대하여 ㉠이 성립한다. $\therefore$ $f \left( m \right) = \left( m + 1 \right) \left( m + 2 \right) \left( m + 3 \right)$ $g \left( m \right) = \left( m + 3 \right) \left( m + 4 \right)$ 따라서 $f \left( 2 \right) + g \left( 3 \right) = 60 + 42 = 102$