세 수 곱의 합 귀납법

다음은 모든 자연수 $n$에 대하여 등식 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{n} k ( k + 1 ) ( k + 2 ) = \frac{1}{4} n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 )$ 이 성립함을 수학적귀납법을 이용하여 증명한 것이다.

(증명) (ⅰ) $n = 1$일 때 (좌변)$= 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$, (우변)$\displaystyle = \frac{1}{4} \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 6$ 이므로 주어진 등식이 성립한다. (ⅱ) $n = i$$( i \geq 1 )$일 때 주어진 등식이 성립한다고 가정하면 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{i} k ( k + 1 ) ( k + 2 ) = \frac{1}{4} i ( i + 1 ) ( i + 2 ) ( i + 3 )$ …… ㉠ ㉠의 양변에 (가) 을(를) 더하면 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{i + 1 _{}} k ( k + 1 ) ( k + 2 ) =$$\displaystyle \frac{1}{4} i ( i + 1 ) ( i + 2 ) ( i + 3 ) +$(가)

$=$ (나)

따라서 $n = i + 1$일 때에도 주어진 등식이 성립한다. (ⅰ), (ⅱ)에 의해 모든 자연수 $n$에 대하여 주어진 등식이 성립한다.

위의 증명에서 (가), (나)에 알맞은 것은? [4점] (가) (나) ①$i ( i + 1 ) ( i + 2 )$ $\displaystyle \frac{1}{4} i ( i + 1 ) ( i + 2 ) ( i + 3 )$②$\displaystyle \frac{1}{4} i ( i + 1 ) ( i + 2 )$ $\displaystyle \frac{1}{4} i ( i + 1 ) ( i + 2 ) ( i + 3 )$③$\displaystyle \frac{1}{4} ( i + 1 ) ( i + 2 ) ( i + 3 )$ $\displaystyle \frac{1}{4} ( i + 1 ) ( i + 2 ) ( i + 3 ) ( i + 4 )$④$( i + 1 ) ( i + 2 ) ( i + 3 )$ $\displaystyle \frac{1}{4} i ( i + 1 ) ( i + 2 ) ( i + 3 )$⑤$( i + 1 ) ( i + 2 ) ( i + 3 )$ $\displaystyle \frac{1}{4} ( i + 1 ) ( i + 2 ) ( i + 3 ) ( i + 4 )$