공통수학1다항식의 연산수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

세 수 곱의 총합 나머지

문제

$3$ 이하의 자연수 $n$ 에 대하여 $A _{n}$ 을 다음과 같이 정한다.

(가) $A _{1} = 9 + 99 + 999$ (나) $A _{n} =$ $\left( \right.$ 세 수 $9$ , $99$ , $999$ 에서 서로 다른 $n ( n \geq 2 )$ 개를 택하여 곱한 수의 총합 $\left. {} ^{{} ^{{} ^{}}} \right)$

이때, $A _{1} + A _{2} + A _{3}$ 의 값을 $1000$ 으로 나눈 나머지를 구하시오. [4점]

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999

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[출제의도] 항등식을 이용하여 문제해결하기 $( x + 9 ) ( x + 99 ) ( x + 999 )$ $= x ^{3} + A _{1} x ^{2} + A _{2} x + A _{3} \cdots \text{①}$ 에서 $A _{1} = 9 + 99 + 999$ , $A _{2} = 9 \times 99 + 99 \times 999 + 999 \times 9$ , $A _{3} = 9 \times 99 \times 999$ 이므로 ①의 식에 $x = 1$ 을 대입하면, $10 \times 100 \times 1000 = 1 + A _{1} + A _{2} + A _{3}$ 이다. 따라서 $A _{1} + A _{2} + A _{3} = 999999$ 를 $1000$ 으로 나눈 나머지는 $999$ 이다.

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