세 문자의 역수 합의 최솟값

$x , y , z$가 양수이므로 산술 기하 평균을 이용하면 $\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{4}{y} + \frac{9}{z} = ( x + y + z ) \left( \frac{1}{x} + \frac{4}{y} + \frac{9}{z} \right)$ $\displaystyle = 14 + \left( \frac{y}{x} + \frac{4 x}{y} \right) + \left( \frac{4 z}{y} + \frac{9 y}{z} \right) + \left( \frac{9 x}{z} + \frac{z}{x} \right)$ $\displaystyle \geq 14 + 2 \sqrt{\frac{4 x}{y} \cdot \frac{y}{x}} + 2 \sqrt{\frac{9 y}{z} \cdot \frac{4 z}{y}} + 2 \sqrt{\frac{9 x}{z} \cdot \frac{z}{x}}$ $= 14 + 4 + 12 + 6$ $= 36$(단, 등호는 $6 x = 3 y = 2 z$)