세 문자 대칭식의 인수분해와 정수 조건

주어진 식의 좌변을 $a$에 대하여 내림차순으로 정리하면 $( b - c ) a ^{2} - ( b ^{2} - c ^{2} ) a + bc ( b - c )$ $= ( b - c ) \left\{ a ^{2} - ( b + c ) a + bc \right\}$ $= ( b - c ) ( a - b ) ( a - c )$ $a - b = p$, $b - c = q$라 하면 $p$, $q$는 자연수이고 $a - c = p + q$이므로 $pq ( p + q ) = 6$ $p + q$는 $6$의 약수이고 $p + q \geq 2$이므로 $p + q = 2$, $3$, $6$ 중 하나이다. $p + q = 2$이면 $pq = 3$이어야 하는데 $p = q = 1$에서 $pq = 1$이므로 모순 $p + q = 6$이면 $pq = 1$이어야 하는데 $p = q = 1$에서 $p + q = 2$이므로 모순 $p + q = 3$이면 $pq = 2$이고 $( p , q ) = ( 1 , 2 )$ 또는 $( 2 , 1 )$ 따라서 $a - c = p + q = 3$이다.