세 이차다항식

$f \left( x \right) g \left( x \right)$는 최고차항의 계수가 $1$인 사차다항식이고 $h \left( x \right)$의 최고차항의 계수가 $1$이므로 조건 (가)에서 $f \left( x \right) g \left( x \right) = \left( x - 1 \right) h \left( x \right) A \left( x \right)$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 을 만족시키는 최고차항의 계수가 $1$인 일차다항식 $A \left( x \right)$가 존재한다. $g \left( x \right) h \left( x \right)$는 최고차항의 계수가 $1$인 사차다항식이고 $f \left( x \right)$의 최고차항의 계수가 $1$이므로 조건 (나)에서 $g \left( x \right) h \left( x \right) = \left( x - 2 \right) f \left( x \right) B \left( x \right)$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ 을 만족시키는 최고차항의 계수가 $1$인 일차다항식 $B \left( x \right)$가 존재한다. 따라서 $f \left( x \right) g \left( x \right) \times g \left( x \right) h \left( x \right) = \left( x - 1 \right) \left( x - 2 \right) f \left( x \right) h \left( x \right) A \left( x \right) B \left( x \right)$ $\left( g \left( x \right) \right) ^{2} = \left( x - 1 \right) \left( x - 2 \right) A \left( x \right) B \left( x \right)$ $\left( g \left( 1 \right) \right) ^{2} = 0$, $g \left( 1 \right) = 0$이므로 $g \left( x \right)$는 $x - 1$을 인수로 갖는다. 마찬가지로 $g \left( x \right)$는 $x - 2$를 인수로 갖는다. 이때, $g \left( x \right)$는 최고차항의 계수가 $1$인 이차다항식이므로 $g \left( x \right) = \left( x - 1 \right) \left( x - 2 \right)$ $\cdots$$\cdots$ ㉢ ㉢을 ㉠에 대입하면 $f \left( x \right) \left( x - 1 \right) \left( x - 2 \right) = \left( x - 1 \right) h \left( x \right) A \left( x \right)$ $f \left( x \right) \left( x - 2 \right) = h \left( x \right) A \left( x \right)$ $h \left( 2 \right) A \left( 2 \right) = 0$이다. 이때 $h \left( 2 \right) \neq 0$이면, $A \left( 2 \right) = 0$이므로 $A \left( x \right) = x - 2$이다. $f \left( x \right) \left( x - 2 \right) = h \left( x \right) \left( x - 2 \right)$이고 $f \left( x \right) = h \left( x \right)$이므로 두 다항식 $f \left( x \right)$, $h \left( x \right)$가 서로 다르다는 조건을 만족시키지 않는다. 따라서 $h \left( 2 \right) = 0$이고, $h \left( x \right)$는 $x - 2$를 인수로 갖는다. 마찬가지로 ㉢을 ㉡에 대입하여 정리하면 $f \left( x \right)$는 $x - 1$을 인수로 갖는다. $f \left( x \right) = \left( x - 1 \right) \left( x - a \right)$, $h \left( x \right) = \left( x - 2 \right) \left( x - b \right)$라 하면 ㉠에서 $\left( x - 1 \right) \left( x - a \right) \times \left( x - 1 \right) \left( x - 2 \right)$ $= \left( x - 1 \right) \times \left( x - 2 \right) \left( x - b \right) \times A \left( x \right)$ $\left( x - 1 \right) \left( x - a \right) = \left( x - b \right) A \left( x \right)$에서 $b = 1$ 또는 $a = b$ $b = 1$이면 $g \left( x \right) = h \left( x \right)$이므로 두 다항식 $g \left( x \right)$, $h \left( x \right)$가 서로 다르다는 조건을 만족시키지 않는다. 따라서 $a = b$이고 $f \left( - 1 \right) + g \left( - 1 \right) = 2 a + 8 = 18$ $a = 5$, $b = 5$ $h \left( 0 \right) = \left( - 2 \right) \times \left( - b \right) = 2 b = 10$